Orthonormalbasis aufstellen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 So 26.01.2014 | | Autor: | Syny |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Vektoren u1 = (-3; 4; 0)T ; u2 = (4; 3; 12)T orthogonal im euklidischen
Vektorraum R3 sind und ergänzen Sie die beiden Vektoren zu einer Orthonormalbasis
des R3:
Stellen Sie den Vektor v = (29; 103; 35)T bezüglich dieser Orthonormalbasis dar. |
Hallo Leute,
und zwar würde mich interessieren ob die Aufgabe wie ich sie gelöst habe stimmt und ob es da nicht einen sinnvolleren weg gibt da die Zahlen des letzten Vektors sehr abstrakt geworden sind (ohne Taschenrechner werde ich die in einer Prüfung nicht rechnen können...).
Das die Vektoren u1,u2 orthogonal sind sieht man ja daran das ihr Skalarprodukt = 0 ergibt.
Nun muss man um die orthonormalbasis zu bilden den Betrag der Vektoren von diesen dividieren
dann komme ich auf u1 = [mm] (\bruch{-3}{\wurzel{7}},\bruch{4}{\wurzel{7}},0) [/mm] u2= [mm] (\bruch{4}{13},\bruch{3}{13},\bruch{12}{13})
[/mm]
da ich im R3 drei vektoren brauche um einen Basis aufstellen zu können habe ich zusätzlich den vektor u3(1,0,0) genommen. nun soll noch der Vektor (29,103,35) in der Basis der ersten 3 Vektoren dargestellt werden. also habe ich eine linearkombination dieser aufgestellt und die Ergenisse resultieren in dem Vektor [mm] v=(\bruch{455}{12},\bruch{5*\wurzel{7}}{16},\bruch{877}{48})
[/mm]
Mfg Syny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 So 26.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. [mm] 3^2+4^4=25 [/mm] also ist die Normierung von u1 falsch.
2. (1,0,0) ist doch nicht orthogonal zu u1 oder u2? also nicht geeignet.
u3 muss senkrecht u1 UND u2 sein.
der Rest ist dann ein einfaches lineares GS zu lösen ohne TR
die Brüche kann man aus dem GS entfernen, indem man mit dem Hauptnenner multipliziert!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:49 So 26.01.2014 | | Autor: | Syny |
> Hallo
> 1. [mm]3^2+4^4=25[/mm] also ist die Normierung von u1 falsch.
Ja seltsam hatte das bei wolfram alpha eingegeben der hatte mir da eine 7 raus gespuckt.
> 2. (1,0,0) ist doch nicht orthogonal zu u1 oder u2? also
> nicht geeignet.
stimmt war nur linear unabhängig wollte das eigentlich mit dem gram-schmidt verfahren noch umändern, hatte den gedanken wohl verworfen, habe das jetzt mit dem Kreuzprodukt gelöst
> u3 muss senkrecht u1 UND u2 sein.
> der Rest ist dann ein einfaches lineares GS zu lösen ohne
> TR
> die Brüche kann man aus dem GS entfernen, indem man mit
> dem Hauptnenner multipliziert!
> Gruss leduart
Danke :)
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