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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Orthonormalbasis bestimmen
Orthonormalbasis bestimmen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Orthonormalbasis bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:34 Do 31.01.2008
Autor: Marry2605

Aufgabe
a = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm]
Bestimmen sie die Vektoren b und c so dass sie mit a eine Orthonormalbasis bilden

Eigentlich denke ich ich hab es verstanden, wäre nett mal mal jemand drüber schauen könnte ob das alles so passt.

Mein erster Schritt ist es einen Vektor zu finden der Orthogonal zu meinem gegebenen Vektor ist:

b = [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm]

Dazu bilde ich das Skalarprodukt von a und b und komme dann auf die Gleichung x - z = 0
Wenn ich dass dann auflöse komme ich auf :
[mm] <\vektor{1 \\ 0 \\ 1}> [/mm]

Dieser Vektor steht jetzt senkrecht auf meinem Vektor a und muss nur noch auf Länge 1 gebracht werden also :
b = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm]

Als nächstes muss ich jetzt noch einen Vektor suchen der Orthogonal zu a un b ist!
Ich bilde also das Skalarprodukt von a und c und von b und c!
Und komme auf der das Gleichungssystem:
x-z = 0
x+z = 0
Was mich dann auf den Vektor [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] brachte
Welcher ja nicht auf die Länge 1 normiert werden muss...

Meine Orthogonalbasis ist also :
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] , [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm]

Stimmt das so?

Lg

        
Bezug
Orthonormalbasis bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:45 Do 31.01.2008
Autor: Slartibartfast

ohne deine Lösung nachgerechnet zu haben: wäre es nicht viel einfacher das Kreuzprodukt von a und b zu bilden? Das spart immerhin (d)ein LGS.

Gruß
Slartibartfast

Bezug
        
Bezug
Orthonormalbasis bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:55 Do 31.01.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Maria,

> a = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ 0 \\ -1}[/mm]
>  Bestimmen
> sie die Vektoren b und c so dass sie mit a eine
> Orthonormalbasis bilden
>  Eigentlich denke ich ich hab es verstanden, wäre nett mal
> mal jemand drüber schauen könnte ob das alles so passt.
>  
> Mein erster Schritt ist es einen Vektor zu finden der
> Orthogonal zu meinem gegebenen Vektor ist:
>  
> b = [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
>  
> Dazu bilde ich das Skalarprodukt von a und b und komme dann
> auf die Gleichung x - z = 0
>  Wenn ich dass dann auflöse komme ich auf :
>  [mm]<\vektor{1 \\ 0 \\ 1}>[/mm] [ok]
>  
> Dieser Vektor steht jetzt senkrecht auf meinem Vektor a und
> muss nur noch auf Länge 1 gebracht werden also :
>  b = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm] [ok]
>  
> Als nächstes muss ich jetzt noch einen Vektor suchen der
> Orthogonal zu a un b ist!
>  Ich bilde also das Skalarprodukt von a und c und von b und
> c!
>  Und komme auf der das Gleichungssystem:
>  x-z = 0
>  x+z = 0 [ok]
>  Was mich dann auf den Vektor [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] brachte [notok]

Da haste dich verschustert, wenn du die Gleichungen addierst, bekommst du 2x=0, also x=0 und damit auch z=0

Ein dritter Vektor, orthogonal zu den anderen beiden und mit Länge 1 wäre also [mm] \vektor{0\\1\\0} [/mm]

>  Welcher ja nicht auf die Länge 1 normiert werden muss...
>  
> Meine Orthogonalbasis ist also :
>  [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ 0 \\ -1}[/mm] ,
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  
> Stimmt das so?

Nicht ganz

Du kannst ja zur Kontrolle mal selbst nachrechnen, ob's stimmt...

-)

> Lg


Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Orthonormalbasis bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:18 Do 31.01.2008
Autor: Marry2605

Oh, japp stimmt!
Aber diesen Schritt von dir verstehe ich jetzt nicht so ganz :

> > Ein dritter Vektor, orthogonal zu den anderen beiden und mit Länge 1  wäre also

[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm]

Wie bist du auf den gekommen? Hast du den einfach geraten?


Lg

Bezug
                        
Bezug
Orthonormalbasis bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:25 Do 31.01.2008
Autor: schachuzipus

Hallo,


nee, nicht geraten, bin ja nicht bei Günther Jauch ;-)

Ich habe deine Rechnung benutzt.

Du hattest richtigerweise geschrieben, dass für einen Vektor [mm] \vektor{x\\y\\z}, [/mm] der auf den anderen beiden senkrecht steht, die Bedingungen

(1) x-z=0

(2) x+z=0

erfüllen muss

(1)+(2) ergibt 2x=0, also x=0 und damit auch z=0

Also muss die erste Komponente und die letzte Null sein, die 2te Kommponente, also y ist beliebig.

Da wir Länge 1 brauchen, habe ich der Einfachheit halber y=1 gewählt, das spart das Normieren.

Du kannst natürlich auch [mm] $\vektor{0\\374\sqrt{\pi}\\0}$ [/mm] nehmen, dann musste aber normieren.

Dann lieber die Arbeit sparen ;-)

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Orthonormalbasis bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:29 Do 31.01.2008
Autor: Marry2605

Oh mann, jaa klar!
Kann Mathe so langesam nichtmehr sehn, Montag hab ich Klausur, dann ist es vorbei ;) ...

Danke! :))

Bezug
                                        
Bezug
Orthonormalbasis bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:28 So 03.02.2008
Autor: Marry2605

Aufgabe
a = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm]
Bestimmen Sie zu Vektor a 2 Vektoren b und c die mit a eine Orthonormalbasis bilden!

Hab jetzt eben nochmal einen andere Aufgabe gerechnet und bin mir nicht sicher ob ich das jetzt richtig gemacht hab.

a = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm]
b = [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm]




Meine erste Gleichung für den ersten auf a stehenden Vektor ist dann
x + y = 0
also ist x = -y wobei y und z frei wählbar sind!
also dann [mm] <\vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] >
Jetzt kommt die Frage, aus diesen beiden kann ich mir ja einen Vektor für b aussuchen? oder?

Lg



Bezug
                                                
Bezug
Orthonormalbasis bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:33 So 03.02.2008
Autor: angela.h.b.


> a = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>  Bestimmen Sie zu Vektor a 2
> Vektoren b und c die mit a eine Orthonormalbasis bilden!
>  Hab jetzt eben nochmal einen andere Aufgabe gerechnet und
> bin mir nicht sicher ob ich das jetzt richtig gemacht hab.
>  
> a = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>  b = [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
>  
>
>
>
> Meine erste Gleichung für den ersten auf a stehenden Vektor
> ist dann
>  x + y = 0
>  also ist x = -y wobei y und z frei wählbar sind!
>  also dann [mm]<\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] >
>  Jetzt kommt die Frage, aus diesen beiden kann ich mir ja
> einen Vektor für b aussuchen? oder?

Hallo,

ja, da kannst Du Dir den aussuchen, der Dir am besten gefällt. Wenn Du das getan hast, kannst Du ja mal drüber nachdenken, ob Du den anderen auch noch für irgendwas verwenden kannst.

Und: normieren nicht vergessen, Du sollst ja eine ONB bringen.

Gruß v. Angela

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