Orthonormalbasis bestimmen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Fr 30.05.2008 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | Sei f=<*,*>_{A} das (symmetrische) Skalarprodukt auf [mm] V=\IR^{3} [/mm] zur Matrix [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2}.
[/mm]
Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von V bzgl. f. |
Hallo,
bin ich jetzt doof? In der darstellenden Matrix stehen ja die entsprechenden Skalarprodukt der entsprechenden Vektoren. Ich wollte nun diese Vektoren bestimmen, und diese dann zu einer Orthonormalbasis machen... ABer mir gelingt das nicht....
Gibt es einen anderen Weg?
Vielen lieben Dank
kiri
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Sa 31.05.2008 | | Autor: | pelzig |
> Sei f=<*,*>_{A} das (symmetrische) Skalarprodukt auf
> [mm]V=\IR^{3}[/mm] zur Matrix [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2}.[/mm]
>
> Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von V bzgl. f.
> In der darstellenden Matrix stehen ja
> die entsprechenden Skalarprodukt der entsprechenden Vektoren.
In der i-ten Zeile und j-ten Spalte steht [mm] $$, [/mm] wobei [mm] $e_l$ [/mm] der l-te Einheitsvektor ist.
Du sollst jetzt eine Orthonomalbasis bzgl. diesem Skalarproduktes finden.
Dazu musst du das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren auf eine beliebige Basis anwenden, also z.B. auf die kanonische Standartbasis [mm] $B=\{e_1,e_2,e_3\}$. [/mm] Aus der Darstellungsmatrix wird klar, dass bereits [mm] $e_1\perp e_3$ [/mm] ist, also hast du nach Normierung bereits ein Orthonormalsystem, und musst den Grams-Schmidtalgortihmus nur noch mit [mm] $e_2$ [/mm] durchführen.
Ich komme damit auf [mm] $\left\{\frac{1}{2}\vektor{1\\0\\0},\frac{1}{2}\vektor{0\\0\\1},-\frac{1}{2}\vektor{1\\-2\\?}\right\}$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mo 02.06.2008 | | Autor: | kiri111 |
Alles klar. Habe es hinbekommen. Ich bedanke mich ganz herzlich!
Grüße kiri
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