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| Aufgabe | Führen Sie das GramSchmidt-Orthonormalisierungsverfahren aus, um eine Orthonormalbasis von V zu bekommen:
a) V = [mm] Spann(u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}, u_{5}) \subseteq \IR^{5} [/mm] für [mm] u_{1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1}, u_{2}=\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ -1} [/mm] , [mm] u_{3}=\vektor{0 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] u_{4}=\vektor{1 \\ -2 \\ -1 \\ -1 \\ 1}, u_{5}= \vektor{2 \\ 1 \\ 3 \\ -2 \\ 2}
[/mm]
Evtl. erhalten Sie unerwartet den Nullvektor. Dies muss nicht bedeuten, dass Sie sich verrechnet haben. Können Sie diesen Fall deuten? |
ich hab mir das Verfahren bei wiki mal angesehen, mir hat sich aber schon bei dem 3. Vektor eine Frage gestellt:
[mm] v_{1}=u_{1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
ich normiere gleich mal: [mm] w_{1}= \bruch{v_{1}}{\parallel v_{1} \parallel} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm]
[mm] v_{2}=u_{2}-\bruch{}{}*v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ -1} [/mm] - [mm] (-\bruch{1}{4})*1\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{ -\bruch{3}{4} \\ \bruch{5}{4} \\ \bruch{1}{4} \\ 1 \\ -\bruch{3}{4}} [/mm] =
mein Professor hat gesagt dass wir möglichst ohne Brüche arbeiten sollen, also = [mm] \bruch{1}{4}*\vektor{-3 \\ 5 \\ 1 \\ 4 \\ -3}
[/mm]
[mm] v_{3}= \vektor{0 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0} [/mm] - [mm] \bruch{3}{4}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm] - ......
und hier stellt sich mir die erste Frage: ich habe ja jetzt aus [mm] v_{2} [/mm] einen Bruch ausgeklammert, rechne ich jetzt mit [mm] v_{2}= \vektor{-3 \\ 5 \\ 1 \\ 4 \\ -3} [/mm] weiter?
[red] [mm] w_{2}= \bruch{v_{2}}{\parallel v_{2} \parallel} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{15}}*\vektor{-3 \\ 5 \\ 1 \\ 4 \\ -3}red]
[/mm]
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Nun, du kannst den Vorfaktor weg lassen. Denn das GSO-Verfahren beruht ja darauf, daß man sich Vektoren, die auf den vorherigen senkrecht stehen, bastelt.
Welche Länge die Vektoren haben, ist erstmal egal, deshalb darfst du beliebige Werte ausklammern. Es kommt alleine auf die Richtung an!
Allerdings bekommst du so erst eine OrthoGONALbasis, du mußt jeden Vektor hinterher noch normieren!
Edit: Der mathematische Grund ist folgender:
[mm] $\bruch{\vec u \vec v}{\vec v \vec v}\vec v=\bruch{|u||v|\cos\phi}{|v|^2}\vec [/mm] v$
Du kannst dem v jetzt überall einen Vorfaktor verpassen, der kürzt sich raus:
[mm] $\bruch{|u||\alpha v|\cos\phi}{|\alpha v|^2}\alpha \vec v=\bruch{\alpha |u||v|\cos\phi}{\alpha^2 |v|^2}\alpha \vec [/mm] v$
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danke für die ausführliche antwort.
jetzt aber gleich ein neues Problem, was auch der Professor angesprochen hat:
[mm] v_{3}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
es wurde gesagt dass das kein Problem ist, aber es gibt doch spätestens bei dem Pkt. ein Problem:
[mm] v_{4}= [/mm] ... - ... - ... - [mm] \bruch{...}{}*v_{3}
[/mm]
und [mm] [/mm] = 0, damit ist [mm] \bruch{...}{0}*v_{3}
[/mm]
ich sehe nicht wie das gehen soll
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:28 Mo 22.01.2007 | | Autor: | celeste16 |
ich hab ncohmal das skript gewälzt, aber trotzdem keine Weiterführung für dieses Problem gefunden.
kann mir wirklich keiner weiterhelfen?
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Nun, schau die mal die Vektoren [mm] $u_1, u_2, u_3$ [/mm] an! Was fällt dir auf?
Und was bedeutet das für deine orthogonalen vektoren?
Denk mal drüber nach, was das GSO-Verfahren überhaupt macht:
Den ersten vektor übernimmt es einfach.
Vom zweiten vektor berechnet es den teil, der senkrecht auf dem ersten steht.
Vom dritten den Teil, der senkrecht auf der Ebene, die die ersten beiden bilden, steht.
Vom vierten den Teil, der senkrecht auf dem Raum, den die ersten drei bilen, steht
...
Was heißt es wohl, wenn da mal der Nullvektor rauskommt?
(Um die die Lösung zu geben: Du kannst den Vektor [mm] u_3 [/mm] eigentlich von anfang an streichen!)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:02 Mo 22.01.2007 | | Autor: | celeste16 |
danke,
ich hab tatsächlich nicht auf die lin. unabhängigkeit geachtet! ich bin einfach davon ausgegangen dass es sich nur um unabhängige handelt. dann lass ich ihn einfach weg und mach mit den anderen weiter
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das ganze Thema ist mir irgendwie total suspekt.
ich hab jetzt 3 Endwerte die ich hier mal posten will:
[mm] w_{1} [/mm] = [mm] \bruch{v_{1}}{\parallel v_{1}\parallel} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] w_{2} [/mm] = [mm] \bruch{v_{2}}{\parallel v_{2}\parallel} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{15}}\vektor{-3 \\ 5 \\ 1 \\ 4 \\ -3}
[/mm]
[mm] w_{3} [/mm] = [mm] \bruch{v_{3}}{\parallel v_{3}\parallel} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{10}}\vektor{1 \\ 0 \\ -2 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
das wären meine normierten Basisvektoren, ich glaube aber nicht das die richtig sind.
was sagt ihr dazu?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 25.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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