Orthonormalbasis von V < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Mo 21.05.2012 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | Im unitären Vektorraum [mm] C^4 [/mm] (mit dem Standardskalarprodukt) sei der Endomorphismus F durch seine Abbildungsmatrix gegeben:
[mm] \pmat{ -4+5i & -4-4i & 0 & -2-2i\\ -4-4i & -5+4i & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & -4+5i & 4+4i \\ -2-2i & 0 &4+4i & -5+4i }
[/mm]
b) Berechnen Sie eine Orthonormalbasis von V aus den Eigenvektoren von F |
Mein Vorgehen wäre folgendes:
Eigenwerte bestimmen, dann Eigenvektoren bestimmen. Da die Matrix symmetrisch ist, sind die Eigenvektoren dann Orthonormalbasen.
Ich scheitere aber irgendwie schon bei der Bestimmung der Eigenwerte:
[mm] det(\pmat{ -4+5i-x & -4-4i & 0 & -2-2i\\ -4-4i & -5+4i-x & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & -4+5i-x & 4+4i \\ -2-2i & 0 &4+4i & -5+4i-x})=....
[/mm]
Mit Mathematica erhält man dann 4 Eigenwerte:
1/2 ((-9 + 9 I) + Sqrt[-32 + 130 I]),
-9
9 I
1/2 ((-9 + 9 I) - Sqrt[-32 + 130 I])
9 und 9i scheinen mir brauchbar, aber was sind die anderen für komische Zahlen?
|
|
| |
|
Hallo yangwar1,
> Im unitären Vektorraum [mm]C^4[/mm] (mit dem Standardskalarprodukt)
> sei der Endomorphismus F durch seine Abbildungsmatrix
> gegeben:
> [mm]\pmat{ -4+5i & -4-4i & 0 & -2-2i\\ -4-4i & -5+4i & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & -4+5i & 4+4i \\ -2-2i & 0 &4+4i & -5+4i }[/mm]
>
> b) Berechnen Sie eine Orthonormalbasis von V aus den
> Eigenvektoren von F
> Mein Vorgehen wäre folgendes:
> Eigenwerte bestimmen, dann Eigenvektoren bestimmen. Da die
> Matrix symmetrisch ist, sind die Eigenvektoren dann
> Orthonormalbasen.
>
> Ich scheitere aber irgendwie schon bei der Bestimmung der
> Eigenwerte:
>
> [mm]det(\pmat{ -4+5i-x & -4-4i & 0 & -2-2i\\ -4-4i & -5+4i-x & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & -4+5i-x & 4+4i \\ -2-2i & 0 &4+4i & -5+4i-x})=....[/mm]
>
> Mit Mathematica erhält man dann 4 Eigenwerte:
> 1/2 ((-9 + 9 I) + Sqrt[-32 + 130 I]),
> -9
> 9 I
> 1/2 ((-9 + 9 I) - Sqrt[-32 + 130 I])
>
> 9 und 9i scheinen mir brauchbar, aber was sind die anderen
> für komische Zahlen?
>
-9 und 9i sind auch die einzigsten Eigenwerte,
die beide mit der algebraischen Vielfachheit 2 vorkommen.
Was die anderen beiden von Mathematica ermittelten
Eigenwert angeht, kann ich Dir nicht weiterhelfen.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Mo 21.05.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Also muss ich dann die zugehörigen Eigenvektoren bestimmen:
(V,A,-9)=Kern(A-X)
Ich habe dann mit dem Gaußalgorithmus vereinfacht:
[mm] \pmat{ 5+5i & -4-4i & 0 & -2-2i \\ 0 & 4+4i & -10-10i & -8-8i \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Also ist [mm] x_3=c [/mm] und [mm] x_4=d [/mm] frei wählbar.
[mm] (4+4i)x_2+(-10-10i)c+(-8-8i)d=0
[/mm]
Also:
[mm] x_2=-5/2c-2d
[/mm]
[mm] x_1=...
[/mm]
Dann erhalte ich zwei Vektoren, die dann Basis des Kerns zum Eigenwert -9 sind und somit Eigenvektoren sind, wenn ich c=1 und d=0 sowie c=0 und d=1 setze.
Noch eine Frage zu der Determinante. Folgende Umformungen müssten doch korrekt sein:
[mm] det\pmat{ -4+5i-x & -4-4i & 0 & -2-2i\\ -4-4i & -5+4i-x & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & -4+5i-x & 4+4i \\ -2-2i & 0 &4+4i & -5+4i-x}=det\pmat{ -4+5i-x & -4-4i & 0 & -2-2i\\ 0 & -5+4i-x & -10-10i & 5-4i+x \\ 0 & -2-2i & -4+5i-x & 4+4i \\ -2-2i & 0 &4+4i & -5+4i-x}=(-4+5i-x)det(\pmat{-5+4i-x & -10-10i & 5-4i+x \\-2-2i & -4+5i-x & 4+4i \\ 0 &4+4i & -5+4i-x}-(-2-2i)det(\pmat{-4-4i & 0 & -2-2i\\-5+4i-x & -10-10i & 5-4i+x \\-2-2i & -4+5i-x & 4+4i}[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo yangwar1,
> Also muss ich dann die zugehörigen Eigenvektoren
> bestimmen:
>
> (V,A,-9)=Kern(A-X)
>
> Ich habe dann mit dem Gaußalgorithmus vereinfacht:
>
> [mm]\pmat{ 5+5i & -4-4i & 0 & -2-2i \\ 0 & 4+4i & -10-10i & -8-8i \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Also ist [mm]x_3=c[/mm] und [mm]x_4=d[/mm] frei wählbar.
>
> [mm](4+4i)x_2+(-10-10i)c+(-8-8i)d=0[/mm]
> Also:
> [mm]x_2=-5/2c-2d[/mm]
Hier muss doch stehen:
[mm]x_2=\blue{+}5/2c\blue{+}2d[/mm]
> [mm]x_1=...[/mm]
> Dann erhalte ich zwei Vektoren, die dann Basis des Kerns
> zum Eigenwert -9 sind und somit Eigenvektoren sind, wenn
> ich c=1 und d=0 sowie c=0 und d=1 setze.
>
> Noch eine Frage zu der Determinante. Folgende Umformungen
> müssten doch korrekt sein:
>
> [mm]det\pmat{ -4+5i-x & -4-4i & 0 & -2-2i\\ -4-4i & -5+4i-x & -2-2i & 0 \\ 0 & -2-2i & -4+5i-x & 4+4i \\ -2-2i & 0 &4+4i & -5+4i-x}=det\pmat{ -4+5i-x & -4-4i & 0 & -2-2i\\ 0 & -5+4i-x & -10-10i & 5-4i+x \\ 0 & -2-2i & -4+5i-x & 4+4i \\ -2-2i & 0 &4+4i & -5+4i-x}=(-4+5i-x)det(\pmat{-5+4i-x & -10-10i & 5-4i+x \\-2-2i & -4+5i-x & 4+4i \\ 0 &4+4i & -5+4i-x}-(-2-2i)det(\pmat{-4-4i & 0 & -2-2i\\-5+4i-x & -10-10i & 5-4i+x \\-2-2i & -4+5i-x & 4+4i}[/mm]
>
Nach dem ersten Gleichheitszeichen muss doch stehen:
[mm]det\pmat{ -4+5i-x & -4-4i & 0 & -2-2i\\ 0 & -5+4i-x & -10-10i & \red{10-8i+2x}\\ 0 & -2-2i & -4+5i-x & 4+4i \\ -2-2i & 0 &4+4i & -5+4i-x}[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Mo 21.05.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Also ist [mm] x_1=-2c-2d.
[/mm]
Ich erhalte nun also zwei Eigenvektoren(Basis des Kerns), wenn ich einmal c=1 und d=0 sowie c=0 und d=1 setze.
Dann muss ich noch eine Basis des Kerns zum Eigenwert 9i bestimmen. Habe ich dann bereits meine Orthonormalbasis?
|
|
|
| |
|
Hallo yangwar1,
> Also ist [mm]x_1=-2c-2d.[/mm]
>
Und wieder ein Vorzeichenfehler:
[mm]x_1=\blue{+}2c\blue{+}2d.[/mm]
> Ich erhalte nun also zwei Eigenvektoren(Basis des Kerns),
> wenn ich einmal c=1 und d=0 sowie c=0 und d=1 setze.
>
> Dann muss ich noch eine Basis des Kerns zum Eigenwert 9i
> bestimmen. Habe ich dann bereits meine Orthonormalbasis?
Nein, Du hast zunächst eine Basis gefunden.
Diese Basis muss noch orthonormiert werden.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
