Orthonormale Zeilen und Spalte < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
eine orthogonale Matrix ist eine quadratische reelle Matrix, wenn die Zeilen- und Spaltenvektoren paarweise orthonormal zueinander sind.
Was genau bedeutet orthonormal? Ist das dieselbe Bezeichnung wie orthogonal, nur angewandt auf die Zeilen- und Spaltenvektoren? Wann sind Zeilen- und Spaltenvektoren orthonormal?
Gruß,
BeelzeBub
|
|
| |
|
> eine orthogonale Matrix ist eine quadratische reelle
> Matrix, wenn die Zeilen- und Spaltenvektoren paarweise
> orthonormal zueinander sind.
>
> Was genau bedeutet orthonormal? Ist das dieselbe
> Bezeichnung wie orthogonal, nur angewandt auf die Zeilen-
> und Spaltenvektoren? Wann sind Zeilen- und Spaltenvektoren
> orthonormal?
Hallo,
zunächstmal sind, wenn die Spalten orthonormal sind, auch die Zeilen orthonormal.
Orthonormal bedeutet: orthogonal und normiert.
Die Spalten (bzw.) Zeilen sind paarweise orthogonal und haben die Länge 1 (normiert).
Man muß sich das merken: orthoGONale Matrix <==> orthoNORMale Spalten (Zeilen).
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo Angela,
vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich habe gelesen, dass die Eigenvektoren einer hermiteschen Matrix eine Orthonormalbasis bilden. Heißt das, dass die Matrix aus den Eigenvektoren (nennen wir sie B) aus paarweise orthonormalen Zeilen- und Spaltenvektoren besteht? Heißt das dann, die Matrix B ist eine unitäre Matrix?
Orthonormal ist also das Gegenstück zu orthogonal im Reellen? Muss dann auch das Skalarprodukt verschwinden?
|
|
|
| |
|
> Hallo Angela,
>
> vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich habe gelesen,
> dass die Eigenvektoren einer hermiteschen Matrix eine
> Orthonormalbasis bilden. Heißt das, dass die Matrix aus den
> Eigenvektoren (nennen wir sie B) aus paarweise
> orthonormalen Zeilen- und Spaltenvektoren besteht? Heißt
> das dann, die Matrix B ist eine unitäre Matrix?
Die Eigenvektoren sind orthogonal, aber nicht per se orthonormal.
Wenn Du sie normierst, hast Du eine Orthonormalbasis, und die Matrix, von der Du sprichst, ist unitär.
> Orthonormal ist also das Gegenstück zu orthogonal im
> Reellen? Muss dann auch das Skalarprodukt verschwinden?
Ich verstehe nicht, was Du meinst. Gegenstück wozu?
Vielleicht meintest Du dies:
"Unitäre Matrix" entspricht der orthogonalen im Reellen.
Unitär: orthonormale Vektoren in den Spalten, Einträge aus [mm] \IC.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> Die Eigenvektoren sind orthogonal, aber nicht paarweise
> orthonormal.
> Wenn Du sie normierst, hast Du eine Orthonormalbasis, und
> die Matrix, von der Du sprichst, ist unitär.
Normieren kann ich Eigenvektoren doch immer, oder? Ich glaube ich stolpere hier über den Begriff Normierung. Heißt Normierung, dass der Vektor aus ganzen Zahlen bestehen muss? Also z.B. [mm] b=\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 2} [/mm] ist ja auch [mm] b=\vektor{1 \\ 2 \\ 4}. [/mm] Normalerweise soll man ja Eigenvektoren immer normieren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Fr 02.11.2007 | | Autor: | Framl |
Nein, normieren heißt, dass der Vektor bzgl. eines bestimmten Skalarprodukts die Länge 1 hat.
Beispiel: Man hat das Standardskalaprodukt und den Vektorraum [mm] $\mathbb{R}^3$, [/mm] $v=(1,1,1)$. Es gilt:
[mm] $||v||=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}\neq [/mm] 1$. Um den Vektor zu normieren, d.h. ihn auf die Länge 1 zu bringen musst du ihn durch die Norm dividieren:
[mm] $\widetilde{v}=\frac{v}{||v||}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot [/mm] (1,1,1)$
|
|
|
| |
|
Hallo Framl,
alles klar. Das ich habe ich jetzt verstanden. D.h. aber dann schon, dass ich jeden Eigenvektor normieren kann, oder?
|
|
|
| |
|
> Hallo Framl,
>
> alles klar. Das ich habe ich jetzt verstanden. D.h. aber
> dann schon, dass ich jeden Eigenvektor normieren kann,
> oder?
Hallo,
ja, das kannst Du mit jedem machen.
Der normierte Vektor ist einfach der, der in die richtige Richtung weist und die Länge 1 hat.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
