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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:50 So 16.03.2014 | | Autor: | Gina2013 |
| Aufgabe | | Seien r, s [mm] \in \IR [/mm] und A= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 9 }. [/mm] Man otrhonormalisiere die Standardbasis von [mm] \IR^{3} [/mm] bezüglich des Skalarprodukts [mm] \delta: \IR^{3} [/mm] X [mm] \IR^{3}\to \IR, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto x^{t}Ay. [/mm] |
Guten Abend alle zusammen,
habe diese Aufgabe und weiß nicht wie ich diese rechnen soll.
Habe drei Vektoren aus dem Standardbasis v genannt : [mm] v_{1}= \vektor{1 \\ 0 \\ 0} v_{2}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} v_{3}= \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Mir ist unklar wie ich aus [mm] x^{t}Ay [/mm] x und y finde, damit ich die Standardbasis orthonormalisieren kann.
Ich weiß zwar wie Orthonormalisierungsverfahren geht, aber komme irgendwie nicht weiter.
Wäre dankbar, wenn mir geholfen wird.
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> Seien r, s [mm]\in \IR[/mm] und A= [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 9 }.[/mm]
> Man otrhonormalisiere die Standardbasis von [mm]\IR^{3}[/mm]
> bezüglich des Skalarprodukts [mm]\delta: \IR^{3}[/mm] X [mm]\IR^{3}\to \IR,[/mm]
> (x,y) [mm]\mapsto x^{t}Ay.[/mm]
> Guten Abend alle zusammen,
> habe diese Aufgabe und weiß nicht wie ich diese rechnen
> soll.
> Habe drei Vektoren aus dem Standardbasis v genannt : [mm]v_{1}= \vektor{1 \\ 0 \\ 0} v_{2}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} v_{3}= \vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Mir ist unklar wie ich aus [mm]x^{t}Ay[/mm] x und y finde, damit ich
> die Standardbasis orthonormalisieren kann.
> Ich weiß zwar wie Orthonormalisierungsverfahren geht,
Hallo,
das ist schonmal gut.
Damit Du den Algorithmus nicht aufschreiben mußt, schlage ich vor, daß wir uns darauf einigen, mit den Bezeichnungen des ![[]](/images/popup.gif) wikipedia-Artikels zu arbeiten.
Los geht's.
Damit wir nicht durcheinanderkommen, taufen wir Deine Vektoren um:
Du hast gegeben 3 linear unabhängige Vektoren
[mm] w_{1}= \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, w_{2}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, w_{3}= \vektor{0 \\ 0 \\ 1},
[/mm]
die nun bzgl des durch A gegebenen Skalarproduktes orthonormalisiert werden sollen.
Am Ende wollen wir drei Vektoren [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] haben, die denselben Raum aufspannen wie [mm] w_1, w_2, w_3, [/mm] und die orthonormal bzgl. des durch A gegebene Skalarproduktes sind, für die also gilt
[mm] w_i^{T}Aw_i=1 [/mm] für i=1,2,3
[mm] w_i^{T}Aw_j=0 [/mm] für [mm] i\not=j.
[/mm]
Du sagst nun leider nicht, woran die Umsetzung des Verfahrens bei Dir scheitert, deshalb muß ich raten:
das <x,y> , im Wikipedia-Artikel steht für das Skalarprodukt von x und y.
Hier ist also [mm] =x^{T}Ay.
[/mm]
Damit solltest Du nun in der Lage sein, den Algorithmus durchzuführen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 So 16.03.2014 | | Autor: | Gina2013 |
Danke Angela,
nur ich bekomme alle v-Vektoren gleich den w-Vektoren:
[mm] v_{1}=w_{1}
[/mm]
[mm] v_{2}=w_{2}-\bruch{}{}v_{1}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}-0
[/mm]
[mm] v_{3}=w_{3}-\bruch{}{}v_{1} [/mm] - [mm] \bruch{}{}v_{2}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}-0-0
[/mm]
Ich mache bestimmt falsch, da es mit Matrix A nichts gemacht wird und da liegen meine Schwierigkeiten.
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Hallo Gina2013,
> Danke Angela,
> nur ich bekomme alle v-Vektoren gleich den w-Vektoren:
> [mm]v_{1}=w_{1}[/mm]
>
> [mm]v_{2}=w_{2}-\bruch{}{}v_{1}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}-0[/mm]
>
> [mm]v_{3}=w_{3}-\bruch{}{}v_{1}[/mm] -
> [mm]\bruch{}{}v_{2}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}-0-0[/mm]
>
> Ich mache bestimmt falsch, da es mit Matrix A nichts
> gemacht wird und da liegen meine Schwierigkeiten.
Mit der Matrix A ist das Skalarprodukt zu berechnen..
Dann ist:
[mm]=v_{1}^{T}Av_{1}[/mm]
[mm]=v_{1}^{T}Aw_{2}[/mm]
[mm]=v_{1}^{T}Aw_{3}[/mm]
[mm]=v_{2}^{T}Av_{2}[/mm]
[mm]=v_{1}^{T}Aw_{3}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 So 16.03.2014 | | Autor: | Gina2013 |
Genau da lag mein Problem,
vielen vielen Dank!!!!
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