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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:42 Mo 23.06.2008 | | Autor: | masa-ru |
| Aufgabe | Zeichen der Ortskurve von
$z=1+ j + [mm] \wurzel{2}*e^{j\phi}$ $0\le\phi \le 2\pi$ [/mm] |
Hallo zusammen,
hier leigen ja sozusagen 2 Zeiger vor diese muss man erst zusammen fassen?
[mm] $z=\underbrace{1+ j }_{=z_{1}}+\underbrace{ \wurzel{2}*e^{j\phi}}_{=z_{2}}$ [/mm]
[mm] $z_{2} [/mm] = [mm] \wurzel{2}*e^{j\phi} [/mm] = [mm] \wurzel{2}(cos(\phi) [/mm] + j [mm] sin(\phi))$
[/mm]
[mm] $z=z_{1} +z_{2} [/mm] = 1+ [mm] \wurzel{2}*cos(\phi) [/mm] + j( [mm] \wurzel{2}*sin(\phi) [/mm] + 1)$
nun habe ich mir bekannte werte für sin/cos in diese Gleichung für [mm] \phi [/mm] eingesetzt und damit mir ein grobe Skizze gemacht.
hier ist der Winkel periodisch [mm] $0\le\phi \le 2\pi$ [/mm] und das ganze soll sowas wie einen Kreis ergeben.
nach ausrechnen von 7 Zeigern kann ich fast einen kreis zeichnen.
aber welchen Zeiger ist der längste Zeiger mit dem ich meinen Mittelpunkt des -kreises ermitteln kann?
und kann man sich die auswertung mehrerer zeicher sparren um fest zu stellen ob es wirklich ein Kreis ist ?
Danke im voraus
mfg
masa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:01 Mo 23.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeichen der Ortskurve von
>
> [mm]z=1+ j + \wurzel{2}*e^{j\phi}[/mm] [mm]0\le\phi \le 2\pi[/mm]
> Hallo
> zusammen,
>
> hier leigen ja sozusagen 2 Zeiger vor diese muss man erst
> zusammen fassen?
>
> [mm]z=\underbrace{1+ j }_{=z_{1}}+\underbrace{ \wurzel{2}*e^{j\phi}}_{=z_{2}}[/mm]
>
> [mm]z_{2} = \wurzel{2}*e^{j\phi} = \wurzel{2}(cos(\phi) + j sin(\phi))[/mm]
>
> [mm]z=z_{1} +z_{2} = 1+ \wurzel{2}*cos(\phi) + j( \wurzel{2}*sin(\phi) + 1)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> nun habe ich mir bekannte werte für sin/cos in diese
> Gleichung für [mm]\phi[/mm] eingesetzt und damit mir ein grobe
> Skizze gemacht.
>
> hier ist der Winkel periodisch [mm]0\le\phi \le 2\pi[/mm] und das
> ganze soll sowas wie einen Kreis ergeben.
> nach ausrechnen von 7 Zeigern kann ich fast einen kreis
> zeichnen.
>
> aber welchen Zeiger ist der längste Zeiger mit dem ich
> meinen Mittelpunkt des -kreises ermitteln kann?
> und kann man sich die auswertung mehrerer zeicher sparren
> um fest zu stellen ob es wirklich ein Kreis ist ?
Ich finde es einfacher, direkt von der Ausgangsgleichung
[mm]z=\underbrace{1+ j }_{=z_{1}}+\underbrace{ \wurzel{2}*e^{j\phi}}_{=z_{2}}[/mm]
auszugehen.
Es ändert sich ja nur [mm] $\phi$, [/mm] das heisst [mm] $z_2$, [/mm] während [mm] $z_1$ [/mm] konstant ist.
Das heisst: z besteht aus den Punkten auf [mm] $z_2=\wurzel{2}*e^{j\phi}$, [/mm] allerdings um [mm] $z_1=1+j$ [/mm] verschoben.
Um zu sehen, dass es wirklich ein Kreis ist, berechnest du die Länge von [mm] $z_2$:
[/mm]
[mm]|z_2| = | \wurzel{2}*e^{j\phi} |= \wurzel{2} |e^{j\phi}| = \wurzel{2} |\cos\phi+j\sin\phi|= \wurzel{2} \wurzel{\cos^2\phi+\sin^2\phi} = \wurzel{2}[/mm]
Also: alle Punkte der Form $1+ [mm] j+\wurzel{2}*e^{j\phi}$ [/mm] haben den Abstand [mm] $\wurzel{2}$ [/mm] vom Punkt $1+j$, liegen also auf dem Kreis vom Radius [mm] $\wurzel{2}$ [/mm] um den Mittelpunkt $1+j$.
Viele Grüße
Rainer
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