P-fast sichere Konvergenz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, ich habe eine Aufgabe in Stochastik zur fast sicheren Konvergenz. Allerdings hänge ich an einer Stelle.
Man soll eine Folge [mm] (X_k)_k\in\Mathbb{N} [/mm] von Zufallsvariablen mit Erwartungswert 0 konstruieren, so dass
[mm] \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k\to [/mm] - [mm] \infty [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] P-fast sicher.
Dazu war der Hinweis, dass eine Zufallsvariable [mm] X_k [/mm] nur die Werte -k und [mm] k^3-k [/mm] annehmen kann und zunächst gezeigt werden kann, dass [mm] P(\frac{X_k}{k}\to [/mm] -1)=1.
Ich habe mir dann überlegt, dass ich ja durch die Forderung nach einem Erwartungswert von 0 die W'keiten für die Zustände -k und [mm] {k^3}-k [/mm] bestimmen kann. Ich kam dann auf [mm] P(X_k=-k)=1-\frac{1}{k^2} [/mm] und [mm] P(X_k=k^3-k)=\frac{1}{k^2}. [/mm] Dann habe ich ja auch die Realisationen [mm] \frac{X_k}{k} [/mm] = -1 und [mm] \frac{X_k}{k} [/mm] = [mm] k^2-1 [/mm] mit den W'keiten [mm] P(\frac{X_k}{k}=-1)=1-\frac{1}{k^2} [/mm] oder halt [mm] P(\frac{X_k}{k}=k^2-1)=\frac{1}{k^2}. [/mm] Also ist ja auch [mm] P(\frac{X_k}{k}\to [/mm] -1)=1, da die W'keit für [mm] \frac{X_k}{k}=k^2-1 [/mm] gegen 0 geht.
Allerdings habe ich nun Probleme diese Errungenschaft auf die Aufgabe anzuwenden. Wie weise ich den P-fast sichere Konvergenz nach?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheplanet.com/
Leider kann mir dort niemand helfen. Evtl. habe ich die Sache mit der fast sicheren Konvergenz auch falsch verstanden. Ich bitte daher um Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 So 17.11.2013 | | Autor: | Fry |
Hey Kugelfisch,
also deine Argumentation für den ersten Teil sieht gut aus.
Hier noch ein paar Ideen für den zweiten Teil:
Also (als Folgerung aus dem Kolmogorovschen Null-Eins-Gesetz) weiß man ja,
dass wenn die [mm]X_n[/mm] unabhängig (könnte man das vielleicht hier fordern?) sind, dass
[mm]\lim_{n\to\infty} \frac{S_n}{n}=c[/mm] P-f.s. mit [mm]c\in\{-\infty,\infty,\mathbb R\}[/mm].
(Es sei [mm]S_n:=\sum_{i=1}^{n}X_i[/mm])
Nun ist [mm]\frac{X_n}{n}=\frac{S_n}{n}-\frac{n-1}{n}\frac{S_{n-1}}{n-1}[/mm].
Hieran könnte man nun die drei obigen Fälle durchspielen:
1.Fall
c reellwertig:
Bildet man den f.s. Limes auf beiden Seiten, so steht da -1=c-1*c=0 f.s.
Widerspruch!
Bei den anderen beiden kann man das allerdings nicht so ohne Weiteres machen.
LG
Christian
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Hey...
also erstmal danke für die Antwort. Ich habe allerdings noch ein paar Fragen dazu. Zunächst einmal zu meinem einfach so dahin gesagten Nachweis zu [mm] P(\frac{X_k}{k}\to [/mm] -1)=1. Eigentlich muss ich das doch ausführlich nachweisen, oder nicht?
Aber nun gut. Wenn das also gilt, dann verstehe ich deine Argumentation bzgl dem reellen c schon ganz gut. Aber was meinst du mit den drei Fällen? Meinst du ich muss die Fälle [mm] c=\infty [/mm] und [mm] c=-\infty [/mm] nachweisen? Wenn ja, hab ich absolut keine Ahnung wie ich das machen muss.
P.S. Ja, die Zufallsvariablen sind unabhängig. Hab es ganz vergessen zu erwähnen. Danke schon mal.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Fry |
Huhu Kugelfisch,
stimmt, das war vielleicht etwas vorschnell.
Also nützlich ist es oft, wenn man sich die Wkeit dafür anschaut, dass die gegebene Folge um mehr als gegebenes [mm] \varepsilon
[/mm]
vom vermuteten Grenzwert abweicht: Sei [mm]\varepsilon>0[/mm] gegeben.
[mm]P\left(\left|\frac{X_n}{n}-(-1)\right|>\varepsilon\right)=P\left(\frac{X_n}{n}=n^2-1\right)+P\left(\left|\frac{X_n}{n}-(-1)\right|>\varepsilon, X_n\not\in\{-1,n^2-1\}\right)=\frac{1}{n^2}+0[/mm] , da ja [mm]\frac{X_n}{n}[/mm] nur die zwei Werte -1 und [mm]n^2-1[/mm] annimmt.
Damit ist [mm]\sum_{n=1}^{\infty}P\left(\left|\frac{X_n}{n}-(-1)\right|>\varepsilon\right)\le \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}<\infty[/mm]. Nach dem Lemma von Borel-Cantelli ist damit [mm]P\left(\limsup_{n\to\infty}\left\{\left|\frac{X_n}{n}-(-1)\right|>\varepsilon\right\}\right)=P\left(\left|\frac{X_n}{n}-(-1)\right|>\varepsilon\:\:\textrm{unendlich oft} \right)=0[/mm]. Daraus folgt die fastsichere Konvergenz gegen -1.
Zum zweiten Teil: Also du müsstet halt ausschließen, dass der [mm] Limes=$\infty$ [/mm] ist. Kann dir aber auch nicht sagen, wie man das machen kann.
Liebe Grüße
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