PDGL 2.Ordnung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:01 Fr 29.07.2005 | | Autor: | ph1l1ps |
Hallo!
Sorry für den ersten Verschreiber, so müßte es jetzt stimmen.
Ich habe noch die originale Aufgabenstellung hochgeladen, um Missverständnisse zu vermeiden.
Folgende partielle DGL gilt es mit Hilfe des Produktansatzes [mm]u(x,t):=X(x)*T(t)[/mm] zu lösen:
[mm] \partial^2 u(x,t)/ \partial t^2 = \partial^2 u(x,t)/ \partial x^2 - 2 \partial u(x,t)/ \partial x + u(x,t)[/mm]
RB: [mm]u(0,t)=u(2,t)=0[/mm]
AW:[mm] u(x,0)= \partial u(x,0)/ \partial t = e^x sin(3x \pi/2)[/mm]
Ich habe zuerst den Produktansatz in die DGL eingesetzt, das EWP gelöst und komme auf:
[mm] T(t)=c_{1}*cos( \mu*t)+c_{2}*sin( \mu*t)
[/mm]
[mm] X(x)=c_{3}*e^x*cos( \mu*x)+ c_{4}*e^x*sin( \mu*x)
[/mm]
Wie forme ich denn nun meine Konstanten oben um, so dass sie auf meinen Produktansatz passen? Ich habe folgendes versucht: einsetzen der Ergebnisse in [mm]u(x,t)=T(t)*X(x)[/mm], also [mm][mm] u(x,t)=(c_{1}*cos( \mu*t)+c_{2}*sin( \mu*t))*(c_{3}*e^x*cos( \mu*x)+ c_{4}*e^x*sin( \mu*x)) [/mm] und dann versucht, die vier Konstanten zu bestimmen.
[mm]u(0,t)=u(2,t)=0[/mm] ist ja äquivalent zu [mm]X(0)=X(2)=0[/mm] oder ? Dann würde gelten
[mm]X(0)=0[/mm] liefert: [mm]c_{3}=0[/mm]
[mm]X(2)=c_{4}*e^2*sin( \mu*2)=0[/mm], [mm] c_{4} \not=0 [/mm] (da es sonst eine triviale Eigenfunktion wäre) und [mm] e^2>0, [/mm] muss also
[mm]sin( \mu*2)=0[/mm], dies ist erfüllt für [mm]\mu=(k-1) \pi/2[/mm], k=1,2,3,...
Also müßte doch [mm]X(x)= \summe_{k=1}^{n} c_{n}*sin((k-1) \pi*x/2)[/mm] die Lösung für X(x) sein.
1.Frage: Wie sind dann die [mm] c_{n} [/mm] zu bestimmen? Sind diese dann beliebig (z.b.[mm]c_{n}=1[/mm], da sie für die Nullstelle keine Rolle spielen?
Das Gesamtergebnis soll aber sein: [mm]u(x,t)=cos(t)*e^x*sin(3* \pi*x/2)[/mm], also keine Summe, und für [mm]X(x)=e^x*sin(3* \pi*x/2)[/mm].
2.unklar: Wie kann die Gesamtlösung keine Summe sein?!
Vielen Dank schon mal für eure Bemühungen,
Philipp
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo,
ich bin jetzt nicht sehr tief in die aufgabe eingestiegen, glaube aber, einen kleinen fehler in deiner sonst korrekten rechnung gefunden zu haben:
>
[mm]u(0,t)=u(2,t)=0[/mm] ist ja äquivalent zu [mm]X(0)=X(2)=0[/mm] oder ?
>
Jep.
>
Dann würde gelten
[mm]T(0)=0[/mm] liefert: [mm]c_{1}=0[/mm]
[mm]T(2)=c_{2}sin( \mu*2)=0[/mm], [mm]c_{2} \not=0[/mm] da sonst die Eigenfunkion trivial ist.
>
Stop! wie kommst du hier auf einmal von $X$ auf $T$? ich denke, du musst hier erstmal $X$ berechnen und kannst anschließend auf $T$ schließen. Und laut den Anfangswerten zur Zeit $t=0$ ist $T(0)$ mitnichten gleich $0$.
Dann kommt glaube ich alles hin.
Viele Grüße
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Fr 29.07.2005 | | Autor: | ph1l1ps |
> Hallo,
>
> ich bin jetzt nicht sehr tief in die aufgabe eingestiegen,
> glaube aber, einen kleinen fehler in deiner sonst korrekten
> rechnung gefunden zu haben:
>
> >
> [mm]u(0,t)=u(2,t)=0[/mm] ist ja äquivalent zu [mm]X(0)=X(2)=0[/mm] oder ?
> >
>
> Jep.
>
> >
> Dann würde gelten
>
> [mm]T(0)=0[/mm] liefert: [mm]c_{1}=0[/mm]
>
> [mm]T(2)=c_{2}sin( \mu*2)=0[/mm], [mm]c_{2} \not=0[/mm] da sonst die
> Eigenfunkion trivial ist.
>
> >
> Stop! wie kommst du hier auf einmal von [mm]X[/mm] auf [mm]T[/mm]? ich denke,
> du musst hier erstmal [mm]X[/mm] berechnen und kannst anschließend
> auf [mm]T[/mm] schließen. Und laut den Anfangswerten zur Zeit [mm]t=0[/mm]
> ist [mm]T(0)[/mm] mitnichten gleich [mm]0[/mm].
> Dann kommt glaube ich alles hin.
>
>
> Viele Grüße
> Matthias
Hmm müßte jetzt in Ordnung sein, hab den urspr. Text abgeändert.
Hatte die einzelnen Gleichungen etwas durcheinandergeworfen.
Insbesondere würde mich die Antworten auf die Fragen interessieren
Vielen Dank schon mal
Philipp
|
|
|
| |
|
Hallo,
also wenn ich das richtig sehe, folgt das doch ziemlich direkt aus den Vorgabewerten, oder?
Wegen der Anfangswertbedingung für $u$ kann nur der summand für $k=4$ in die lösung eingehen.
Grüße
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Fr 29.07.2005 | | Autor: | ph1l1ps |
> Hallo,
>
> also wenn ich das richtig sehe, folgt das doch ziemlich
> direkt aus den Vorgabewerten, oder?
> Wegen der Anfangswertbedingung für [mm]u[/mm] kann nur der summand
> für [mm]k=4[/mm] in die lösung eingehen.
>
> Grüße
> Matthias
ok. das könnte ich tun; aber gibt es einen (verstecken?!) Hinweis aus der Aufgabenstellung darauf?
Wenn man sich die AB mal anguckt steht da:
aus $ u(x,0)= [mm] \partial [/mm] u(x,0)/ [mm] \partial [/mm] t = [mm] e^x [/mm] sin(3x [mm] \pi/2) [/mm] $ folgt unter der Annahme, dass die rechte Seite nur auf X(x) zurückzuführen ist: [mm]T(0)=T'(0)=1[/mm], dann wäre $ [mm] X(x)=c_{4}\cdot{}sin(3\pi\cdot{}x/2) [/mm] $. mit [mm]c_{4}=1[/mm] und wenn man [mm]T(0)=T'(0)=1[/mm] in die T(t) einsetzt bekommt man [mm]c_{1}=1[/mm] und [mm]c_{2}=1/ \mu[/mm].
Die Gesamtlösung wäre dann:
$ u(x,t)=(cos( [mm] \mu\cdot{}t)+1/ \mu\cdot{}sin( \mu\cdot{}t))\cdot{}e^x\cdot{}sin( [/mm] 3x [mm] \pi/2) [/mm] $
was der tatsächlichen recht ähnlich aussieht $ [mm] u(x,t)=cos(t)\cdot{}e^x\cdot{}sin(3\cdot{} \pi\cdot{}x/2) [/mm] $
aber immernoch nicht ganz perfekt ist. Dennoch glaube ich, dass ich heute mit der Gleichung um einiges weitergekommen bin. Danke schon mal 
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Die Gesamtlösung wäre dann:
>
> [mm]u(x,t)=(cos( \mu\cdot{}t)+1/ \mu\cdot{}sin( \mu\cdot{}t))\cdot{}e^x\cdot{}sin( 3x \pi/2)[/mm]
>
> was der tatsächlichen recht ähnlich aussieht
> [mm]u(x,t)=cos(t)\cdot{}e^x\cdot{}sin(3\cdot{} \pi\cdot{}x/2)[/mm]
Das sieht doch schon sehr gut aus! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Hm, kann das sein, dass die angegebene lösung gar nicht passt? Mit den Anfangswerten für [mm] $u_t$ [/mm] kommt das doch nur mit dem kosinus gar nicht hin?!?
Gruß
Matthias
>
> aber immernoch nicht ganz perfekt ist. Dennoch glaube ich,
> dass ich heute mit der Gleichung um einiges weitergekommen
> bin. Danke schon mal
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:33 Fr 29.07.2005 | | Autor: | ph1l1ps |
KANN natürlich sein, dass sich unser lieber Assistent geirrt hat ;D
|
|
|
|
