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Ich möchte folgende PDGL lösen:
[mm] a\cdot u_x+b \cdot u_y=1
[/mm]
[mm] u_x [/mm] ist die Ableitung der Funktion u(x,y) nach x und entsprechend ist [mm] u_y [/mm] die Ableitung nach y. a und b sind Konstanten, die nicht von x oder y abhängen.
Ich habe im Buch von Meyberg-Vachenauer "Höhere Mathematik für Ingenieure" gelesen, dass es sich hierbei um eine lineare PDGL mit konstante Koeffizienten handelt und dass man eine homogene und eine heterogene Lösung bestimmen kann.
Die homogene Lösung soll wohl g(bx-ay) sein und g soll irgendeine Funktion sein. Hier hat mein Ingenieur Gehirn schon mal ein Problem. Ich habe gelesen, dass dies anschaulich einer Verschiebung einer bestimmten Kurve entspricht, bin daraus aber nicht schlau geworden.
Weiterhin ist dort auch die partikuläre Lösung angegeben:
[mm] u(x,y)=\frac{1}{2ab}\integral_{bx_0+ay_0}^{bx+ay}{F(\xi,ax-by) d\xi}
[/mm]
[mm] \xi [/mm] kommt aus einer Substitution und ist gleich (bx+ay) und F(..) ist in meiner PDGL gleich 1. Somit wird das Integral zu
[mm] \integral_{bx_0+ay_0}^{bx+ay}{1 d\xi}
[/mm]
und das ist ja dann wohl
[mm] u(x,y)=\frac{1}{2ab}((bx+ay)-(bx_0+ay_0))
[/mm]
Also ingesamt mit homogener und partikulärer Lösung ergibt sich dann:
[mm] u(x,y)=\frac{1}{2ab}((bx+ay)-(bx_0+ay_0))+g(bx-ay)
[/mm]
So schön das jetzt aussehen mag, so unverständlich ist aber auch, was nun [mm] x_0 [/mm] und [mm] y_0 [/mm] sein sollen.
Die Randbedingungen für die PDGL lauten:
u(x=0,y)=0 und u(x,y=0)=0
1)Muss ich die Randbedingungen in die allgemeine Lösung einsetzen und [mm] x_0 [/mm] und [mm] y_0 [/mm] ausrechnen ?
2) Was mache ich mit der homogenen Lösung g(bx-ay) ? Kann ich hier einfach bx-ay schreiben, wenn g beliebig sein kann, wäre das ja nicht falsch.
Ich bin dankbar für jeden Hinweis. Mir mangelt es am Verständnis dieser Art Lösung. Mit gewöhnlichen Lösungen und Lösungsmethoden habe ich sonst eigentlich keine Probleme.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 24.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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