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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:18 Di 21.10.2014 | | Autor: | arraneo |
Hey,
die Aufgabe lautet zusammengefasst:
[mm] p:=\Big( \sum_{i=1}^n |x_i|^p\Big)^{1/p} [/mm] , sei die P-Norm.
iii) Beweisen Sie die folgende Interpolationsungleichung: Sind [mm] 1\le p_0\le p_1\le\infty [/mm] , so gilt:
[mm] ||x||_\theta\le ||x||_{p_0}^{1-\theta} ||x||_{p_1}^\theta
[/mm]
, für jedes [mm] x\in C^n [/mm] und [mm] \theta\in[0,1], [/mm] wobei [mm] p_{\theta} [/mm] definiert ist als :
[mm] \frac{1}{p_\theta}=\frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1} [/mm] und wir [mm] \frac{.}{\infty}:=0 [/mm] setzen.
Ich denke mir aus [mm] p_\tetha [/mm] kann man die Hölderexponenten raus kriegen und somit hoffentlich die Gleichung, dabei aber habe ich ein kleines Problem an einer Stelle.
Also es geht folgendermaßen:
[mm] ||x||_\theta=\Big( \sum_{i=1}^n |x_i|^{p_\theta}\Big)^{1/p_\theta}=\Big( \sum_{i=1}^n |x_i|^{p_\theta}\Big)^{\frac{1-\theta}{p_0}+\frac{\theta}{p_1}}= \Big( \sum_{i=1}^n |x_i|^{p_\theta}\Big)^{\frac{1-\theta}{p_0}}\cdot \Big( \sum_{i=1}^n |x_i|^{p_\theta}\Big)^{\frac{\theta}{p_1}}= [/mm]
= [mm] \Bigg[\Big( \sum_{i=1}^n |x_i|^{p_\theta}\Big)^{1-\theta}\Bigg]^{1/p_0} \cdot \Bigg[ \Big( \sum_{i=1}^n |x_i|^{p_\theta} \Big)^\theta \Bigg]^{1/p_1} [/mm]
*) [mm] \le \Bigg[\Big( \sum_{i=1}^n |x_i|^{p_0}\Big)^{1-\theta}\Bigg]^{1/p_0} \cdot \Bigg[ \Big( \sum_{i=1}^n |x_i|^{p_1} \Big)^\theta \Bigg]^{1/p_1} [/mm] = [mm] ||x||_{p_0}^{1-\theta} ||x||_{p_1}^\theta [/mm]
Dabei aber bei *) ich vermute, es sollte bestimmt was mit der Hölderschen Ungleichung zu tun haben, wieder, kann ich nur leider nicht erklären, warum diesen Schritt stimmt.
könnte mir bitte jemanden erklären, erstmal, ob das ganze stimmt und dann wenn, warum es gilt? ich komme nämlich nicht weiter.
vielen Dank !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Di 21.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
(*) ist falsch.
Verwende die Zerlegung [mm] $|x_i|^{p_\theta}=|x_i|^{\theta p_\theta}|x_i|^{p_\theta(1-\theta)}.
[/mm]
Wende dann Hölder mit dem Exponenten [mm] $r:=\frac{p_1}{\theta p_\theta}>1$ [/mm] an. (Man kann OE annehmen, dass [mm] $\theta \in [/mm] (0,1)$.)
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Di 21.10.2014 | | Autor: | arraneo |
hi, danke , aber sorry, ich verstehe von deiner Antwort kaum was.. ?
Hölder gilt ja für Exponenten mit der Eigenschaft : [mm] 1/p_0+1/p_1=1, [/mm] was ich bei dem von dir erwähnten Exponenten nicht sehen kann.
Außerdem, wie kommt man auf diese Verteilung ?
übrigens, ja [mm] \theta\in [/mm] [0,1]
danke !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Di 21.10.2014 | | Autor: | andyv |
> hi, danke , aber sorry, ich verstehe von deiner Antwort
> kaum was.. ?
>
> Hölder gilt ja für Exponenten mit der Eigenschaft :
> [mm]1/p_0+1/p_1=1,[/mm] was ich bei dem von dir erwähnten
> Exponenten nicht sehen kann.
Das verstehe ich nicht. Ich habe keinen zweiten Exponenten $r'$ definiert, da für diesen natürlich [mm] $\frac{1}{r'}=1-\frac{1}{r} [/mm] $gilt (sonst könnte man Hölder nicht anwenden).
>
> Außerdem, wie kommt man auf diese Verteilung ?
Aufgrund der Definition von [mm] $p_\theta$ [/mm] ist dann [mm] $\frac{1}{r'}=\frac{(1-\theta)p_\theta}{p_0}$.
[/mm]
Du erhälst also nach Anwendung von Hölder die [mm] $p_\theta$-Norm [/mm] und die [mm] $p_1$-Norm, [/mm] wie gewünscht.
>
> übrigens, ja [mm]\theta\in[/mm] [0,1]
Die Rechnung, so wie ich sie vorgeschlagen habe, kannst du für [mm] $\theta=0$ [/mm] nicht machen, deshalb diese Anmerkung.
> danke !
Liebe Grüße
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:14 Mi 22.10.2014 | | Autor: | arraneo |
danke nochmals, aber darf ich dich um ein Paar Zwischenschritte bitten?
also vom vorne rein:
Du definierst r:= [mm] \frac{p_1}{\tehta p_\theta} \Rightarrow \frac{1}{r}=\frac{\theta p_\theta}{p_1} \Rightarrow \frac{1}{r'} [/mm] = 1- [mm] \frac{1}{r} \iff \frac{1}{r'}=1-\frac{\theta p_\theta}{p_1}=\frac{p_1-\theta p_\theta}{p_1} [/mm] =? [mm] \frac{(1-\theta) p_\theta}{p_0} [/mm]
Ich habe gerade versucht die Formel von [mm] p_\theta [/mm] da anzuwenden, aber da kommen nur extrem komplizierte Sache raus, die nicht mit deiner Formel zu tun haben.
Daher frage ich mich wie du darauf kommst und vor allem, wie das dann 1 ergibt, sprich 1/r+1/r'=1 .
Danach würde ich schon die Höldersche Ungleichung anwenden, wenn ich verstehen würde, wie ich das zu tun habe .
vielen Dank. grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Mi 22.10.2014 | | Autor: | andyv |
Es gilt: $ [mm] \frac{1}{r'}=1-\frac{\theta p_\theta}{p_1}=p_{\theta}(\frac{1}{p_{\theta}}-\frac{\theta}{p_1})$ [/mm]
Jetzt kannst du die Definition von [mm] $p_\theta$ [/mm] verwenden.
Um Missverständnisse zu vermeiden:
Man wendet die Ungleichung [mm] $\sum_{k=1}^n |a_k b_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |a_k|^r \right)^{1/r} \left( \sum_{k=1}^n |b_k|^r' \right)^{1/r'}$ [/mm] auf [mm] $a_k=x_k^{\theta p_\theta}$, $b_k=x_k^{p_\theta(1-\theta)}$, [/mm] $ [mm] r=\frac{p_1}{\theta p_\theta}$ [/mm] sowie [mm] $r'=\frac{p_0}{(1-\theta)p_\theta}$ [/mm] an.
Zu prüfen ist dann [mm] $\frac{1}{r}+\frac{1}{r'}=1$ [/mm] (vgl. oben) und [mm] $r\ge [/mm] 1$.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:06 Mi 22.10.2014 | | Autor: | arraneo |
hey, vielen vielen DANK!!! ich hab es endlich mal kapiert!
Also erst die erste Verteilung, die du meintest, dann die Höldersche Ungleichung und dann alles was übrig bleibt ist genau die Behauptung.
ich muss das jetzt in 2 Stunden abgeben, daher schaffe ich im Moment nicht mehr hier eine ausführliche Variante zu schreiben, wenn eine aber erwünscht ist, dann könnte ich das gern abends noch machen.
immerhin, danke nochmals !
viele Grüße !
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