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| Aufgabe | An einem Tanzwettbewerb nehmen genau 5 Paare teil. Die Paare werden durch Auslosung neu zusammengewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
a) alle 5 Paare wieder zusammengeführt werden,
b) genau 1 Paar, genau 2 Paare, genau 3 Paare, genau 4 Paare zusammengeführt werden,
c) kein Paar zusammengeführt wird ? |
Aufgabe a) habe ich alleine hinbekommmen:
[mm] P(X=5)=\frac{1}{120}
[/mm]
Ich habe Probleme bei den anderen Aufgaben. Mir ist überhaupt nicht bewusst, wie man auf die Günstigen Möglichkeiten kommt.
Ich habe mir überlegt die fünf Paare zu nehmen und zu überlegen, wie viele Möglichkeiten man hat aus fünf Paaren genau ein Paar auszuwählen. Daraus ergibt sich:
[mm] \binom{5}{1} [/mm] Das wären fünf Möglichkeiten.
Da die Reihenfolge allerdings eine Rolle spielt, muss man noch mit 1! multiplizieren. Und somit hat man die günstigen Möglichkeiten.
Stimmt dieser Ansatz ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> An einem Tanzwettbewerb nehmen genau 5 Paare teil. Die
> Paare werden durch Auslosung neu zusammengewürfelt. Wie
> groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
> a) alle 5 Paare wieder zusammengeführt werden,
> b) genau 1 Paar, genau 2 Paare, genau 3 Paare, genau 4
> Paare zusammengeführt werden,
> c) kein Paar zusammengeführt wird ?
> Aufgabe a) habe ich alleine hinbekommmen:
>
> [mm]P(X=5)=\frac{1}{120}[/mm]
>
Ja, das passt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich habe Probleme bei den anderen Aufgaben. Mir ist
> überhaupt nicht bewusst, wie man auf die Günstigen
> Möglichkeiten kommt.
Sagt dir der Begriff der ![[]](/images/popup.gif) Fixpunktfreien Permutationen etwas? Damit sollte man hier auf jeden Fall relativ einfach zum Ziel gelangen. Falls dir das jedoch gar nichts sagt, dann frage einfach weiter nach.
Gruß, Diophant
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Leider ist mir das nicht bekannt. :(
Und in Wikepedia ist das richtig kompliziert erklärt. Könntest du mir versuchen zu erklären, was dahinter steckt ? Oder gibt es keinen anderen Weg ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:37 So 18.05.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin,
ich bin gerne bereit, mir über eine einfachere Lösung Gedanken zu amchen. Vorher hätte ich aber gerne gewusst, woher genau die Aufgabe stammt. 
Gruß, Diophant
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Die Aufgabe stammt aus dem Buch:
"Mathematik Gymnasiale Oberstufe Berlin Leistungskurs MA-2"
:)
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Hallo,
mal ein Hinweis: die Aufgabe ist - sofern wirklich der kombinatorische Background fehlt - von der Reihenfolge her vielleicht etwas verwirrend gestellt insofern als bei Teilaufgabe b) sicherlich der Fall X=1 der schwierigste ist.
Gehe also mal die Fälle X=4 (sehr leicht) sowie X=3 und X=2 (beide noch leicht) durch. Für den Fall X=1 ist deine Grundidee mit den 5 Paaren schonmal ein Anfang. Angenommen, es findet sich genau ein solches Paar wieder zusammen benötigst du hier noch die Anzahl der Möglichkeiten für die restlichen vier Paare. Das müssen dann wieder fixpunktfreie Permutationen sein, die man dann in diesem Fall vielleicht durch Abzählen an Hand einer Auflistung finden soll.
Wiederum (ohne Background) der Fall X=0: der ist der schwierigste, weil er ja genau auf die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen für den Fall n=5 führt. Hier hast du nur die Alternative, die bisher errrechneten Anzahlen zu summieren und von 5!=120 zu subtrahieren.
Wie heißt denn das Kapitel aus dem besagten Buch und was ist überhaupt euer Kenntnisstand in der Kombinatorik? Ich frage, weil das jetzt für die Schule in Deutschland im Jahr 2014 doch eine ungewöhnlich anspruchsvolle Aufgabe ist...
Gruß, Diophant
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Das Kapitel lautet: Kombinatorik.
Die Wahrscheinlichkeit, dass alle vier Paare zusammen kommen, muss null betragen, weil wenn die vier Paare zusammenkommen, dann kommt mit Sicherheit das fünfte auch zusammen, weshalb die Wahrscheinlichkeit auf null fällt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Paare zusammen kommen. Erstmal habe ich mir überlegt, die Möglichkeiten zu berechnen aus fünf Paaren genau 3 auszuwählen.
Daraus folgt:
[mm] \binom{5}{3}
[/mm]
Jetzt brauchen wir noch die restlichen zwei Paare. Und die haben nur eine Möglichkeit sich falsch zu entscheiden.
Um die Kombination zu vollbringen, muss man nun [mm] \binom{5}{3} \cdot [/mm] 1 rechnen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass alle ein Paar zusammen kommt. Hier habe ich mir überlegt, erst die Möglichkeiten zu berechnen aus fünf Paaren genau 1 Paar auszuwählen.
Daraus folgt:
[mm] \binom{5}{1}
[/mm]
Jetzt haben wir allerdings noch vier weitere Paare. Man könnte diese Personen gegenüberstellen:
A B C D
Q W E R
Die Frauen und Männer können insgesamt 18 Paare bilden, da wir aber von den richtigen Paaren hinwegsehen, dividieren die Anzahl mit zwei.
Daraus ergibt sich:
[mm] \binom{5}{1} \cdot [/mm] 9
so richtig ?
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Hallo,
> Das Kapitel lautet: Kombinatorik.
>
> Die Wahrscheinlichkeit, dass alle vier Paare zusammen
> kommen, muss null betragen, weil wenn die vier Paare
> zusammenkommen, dann kommt mit Sicherheit das fünfte auch
> zusammen, weshalb die Wahrscheinlichkeit auf null fällt.
So ist es.
>
> Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Paare zusammen
> kommen. Erstmal habe ich mir überlegt, die Möglichkeiten
> zu berechnen aus fünf Paaren genau 3 auszuwählen.
> Daraus folgt:
> [mm]\binom{5}{3}[/mm]
> Jetzt brauchen wir noch die restlichen zwei Paare. Und die
> haben nur eine Möglichkeit sich falsch zu entscheiden.
> Um die Kombination zu vollbringen, muss man nun
> [mm]\binom{5}{3} \cdot[/mm] 1 rechnen.
Jep, macht dann hier 10 Möglichkeiten.
>
> Die Wahrscheinlichkeit, dass alle ein Paar zusammen kommt.
> Hier habe ich mir überlegt, erst die Möglichkeiten zu
> berechnen aus fünf Paaren genau 1 Paar auszuwählen.
> Daraus folgt:
> [mm]\binom{5}{1}[/mm]
>
> Jetzt haben wir allerdings noch vier weitere Paare. Man
> könnte diese Personen gegenüberstellen:
>
>
> A B C D
>
> Q W E R
>
> Die Frauen und Männer können insgesamt 18 Paare bilden,
> da wir aber von den richtigen Paaren hinwegsehen,
> dividieren die Anzahl mit zwei.
>
> Daraus ergibt sich:
>
> [mm]\binom{5}{1} \cdot[/mm] 9
>
>
> so richtig ?
Das ist richtig, sehr gut! Jetzt musst du noch X=2 und X=0 finden.
Gruß, Diophant
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Super. :)
Die Wahrscheinlichkeit, dass kein Paar zusammen kommt, beträgt auch null. :)
Es wird immer ein Paar zusammenkommen, weil wenn wir vier falsche Paare haben, dann müssen die übrigen richtigen Personen zusammenkommen.
P(X=0)=0
Bei zwei Paaren habe ich ein wenig Probleme.
[mm] \binom{5}{2} [/mm] Das sind die Möglichkeiten aus fünf Paaren, zwei auszuwählen.
Sie haben bloß zwei Möglichkeiten, sich falsch anzuordnen. Deshalb müssen wir das ganze mit zwei multiplizieren:
[mm] P(X=2)=\binom{5}{2} \cdot [/mm] 2
Ich hoffe, dass das richtig ist. :)
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Hallo,
> Super. :)
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> Die Wahrscheinlichkeit, dass kein Paar zusammen kommt,
> beträgt auch null. :)
> Es wird immer ein Paar zusammenkommen, weil wenn wir vier
> falsche Paare haben, dann müssen die übrigen richtigen
> Personen zusammenkommen.
Nein, das ist jetzt inkl. deiner Logik völlig falsch.
Wie schon gesagt: wenn du dich nicht in die Materie der fixpunktfreien Permutationen einarbeiten möchtest, dann musst du wohl oder übel die anderen Fälle (richtig) berechnen und diesen Fall durch Subtraktion lösen.
> Bei zwei Paaren habe ich ein wenig Probleme.
>
> [mm]\binom{5}{2}[/mm] Das sind die Möglichkeiten aus fünf Paaren,
> zwei auszuwählen.
>
> Sie haben bloß zwei Möglichkeiten, sich falsch
> anzuordnen. Deshalb müssen wir das ganze mit zwei
> multiplizieren:
>
> [mm]P(X=2)=\binom{5}{2} \cdot[/mm] 2
>
>
> Ich hoffe, dass das richtig ist. :)
Das wiederum ist richtig (bis auf die völlig falsche Schreibweise: wir zählen hier Möglichkeiten, das sind keine Wahrscheinlichkeiten!).
Gruß, Diophant
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Kann man das Problem nicht mit der Gegenwahrscheinlichkeit lösen ?
P(X=0)=1-P(X=5)
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Hallo,
so langsam würde ich dich gerne bitten, die Antworten gründlicher durchzulesen und Rückfragen demenstsprechend gründlicher vorzubereiten. Das hier
> Kann man das Problem nicht mit der Gegenwahrscheinlichkeit
> lösen ?
>
> P(X=0)=1-P(X=5)
ist in zweifacher Hinsicht Unfug (was ist eine Gegenwahrscheinlichkeit? und weshalb sollte X=5 Gegenereignis zu X=0 sein?). Zum anderen habe ich dir prinzipiell diese Vorgehensweise jetzt schon mehrfach geraten.
Mache dir jetzt ersteinmal klar, wie das Gegeneregnis zu X=0 lautet, dann bist du nämlich durch mit der Aufgabe.
Aber vielleicht nochmal ganz deutlich (muss man ab und an loswerden): wir sind hier ein ernsthaftes Forum, keinesfalls jedoch ein Chatroom.
Gruß, Diophant
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Ja. Hast recht. Sorry. :)
[mm] P(X=0)=1-\left(P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)\right)
[/mm]
[mm] \Rightarrow P(X=0)=1-\left(\frac{76}{120}\right)=\frac{44}{120}
[/mm]
so hier?
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Hallo,
> Ja. Hast recht. Sorry. :)
>
> [mm]P(X=0)=1-\left(P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)\right)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow P(X=0)=1-\left(\frac{76}{120}\right)=\frac{44}{120}[/mm]
>
> so hier?
Ja, jetzt ist alles richtig.
Ich würde aber an deiner Stelle bei dieser Aufgabe die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten (die hier völlig trivial ist!) von dem eigentlichen Zählproblem trennen. Also wenn du das irgendwie präsentieren sollst, dann leite einfach zunächst die ganzen Anzahlen her, für den Fall X=0 eben einfach durch die Rechnung 120-76=44.
Die Wahrscheinlichkeiten bekommt man dann alle durch den guten alten Laplace per
[mm] P=\bruch{\mbox{Anzahl der günstigen Fälle}}{\mbox{Anzahl der möglichen Fälle}}
[/mm]
wobei die möglichen Fälle eben die 5!=120 sind.
Gruß, Diophant
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Verstehe. Alles klar. Vielen Dank.
Ich werde mich jetzt mit der Fixpunktfreien Permutation auseinander setzen.
Schönen Tag noch. :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 So 18.05.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Verstehe. Alles klar. Vielen Dank.
>
>
> Ich werde mich jetzt mit der Fixpunktfreien Permutation
> auseinander setzen.
Das nenne ich Ehrgeiz. Viel Erfolg!
> Schönen Tag noch. :)
Ja, dir auch!
Gruß, Diophant
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