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| Aufgabe | Zwei kongruente Ellipsen ell1 und ell2 in erster bzw. zweiter Hauptlage mit der Hauptachsenlänge 2a (a²=24) haben die gemeinsame Tangente t:x+y=d. Die Länge der halben Nebenachse b ist so zu wählen, dass das zwischen den Koordinatenachsen liegende Stück der Tangente t vom Berührpunkt T1 und von ell1 und vom Berührp. T2 und ell2 in drei gleich lange Strecken geteilt wird.
1) Ermittle die Gleichungen der Ellipsen ell1 und ell2 und die Gleichungen der gemeinsamen Tangenten!
2)die Koordinaten der im ersten Quadranten liegenden Punkte T1 und T2 und
3)die Koordinaten der Schnittpunkte der Ellipsen ell1 und ell2! |
Ich habe mir bereits eine Skizze gemacht und versucht mit der Berührbedingung zu arbeiten (d²=a²k²+b²) und bin auch auf die Steigung der Tangenten gekommen (k=-1, da sie parallel zu der Strecke AB, wobei A und B die Scheitelpunkte der Ellipse sind), aber nun weiß ich nicht mehr weiter
Herauskommen sollte:
1) ell1: x²+2y²=24, ell2: 2x²+y²=24, t1: x+y=-6, t2: x-y=-6 etc.
2) T(4/2) T(2/4)
[mm] 3)S1(2*\wurzel{2}/2*\wurzel{2}) [/mm] etc...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zwei kongruente Ellipsen ell1 und ell2 in erster bzw.
> zweiter Hauptlage
was soll dies genau bedeuten ?
ich vermute: die Hauptachse der einen Ellipse soll
parallel zur x-Achse, die der anderen parallel zur
y-Achse sein
nach weiterer Überlegung: Die Ellipsen haben
auch das gemeinsame Zentrum O(0/0), d.h.
ihre Achsen liegen auf den Koordinatenachsen.
(ohne diese Annahme wären die Ellipsen
nicht eindeutig bestimmt)
> mit der Hauptachsenlänge 2a (a²=24) haben
> die gemeinsame Tangente t:x+y=d. Die Länge der halben
> Nebenachse b ist so zu wählen, dass das zwischen den
> Koordinatenachsen liegende Stück der Tangente t vom
> Berührpunkt T1 und von ell1 und vom Berührp. T2 und ell2 in
> drei gleich lange Strecken geteilt wird.
> 1) Ermittle die Gleichungen der Ellipsen ell1 und ell2 und
> die Gleichungen der gemeinsamen Tangenten!
> 2)die Koordinaten der im ersten Quadranten liegenden
> Punkte T1 und T2 und
> 3)die Koordinaten der Schnittpunkte der Ellipsen ell1 und
> ell2!
> Ich habe mir bereits eine Skizze gemacht und versucht mit
> der Berührbedingung zu arbeiten (d²=a²k²+b²) und bin auch
> auf die Steigung der Tangenten gekommen (k=-1, da sie
> parallel zu der Strecke AB, wobei A und B die
> Scheitelpunkte der Ellipse sind), aber nun weiß ich nicht
> mehr weiter
> Herauskommen sollte:
> 1) ell1: x²+2y²=24, ell2: 2x²+y²=24, t1: x+y=-6, t2: x-y=-6
> etc.
> 2) T(4/2) T(2/4)
> [mm]3)S1(2*\wurzel{2}/2*\wurzel{2})[/mm] etc...
hello starlet !
Betrachten wir die Tangente der Ellipse [mm] ell_1 [/mm] im Punkt
[mm] T_1(x_1/y_1). [/mm] Ihre Gleichung kann man schreiben als:
[mm] \bruch{x_1*x}{a^2}+\bruch{y_1*y}{b^2}=1
[/mm]
Diese Gerade (es ist die obige Tangente t) geht durch die
Achsenschnittpunkte P(d/0) und Q(0/d). Daraus ergeben
sich verschiedene Gleichungen für d, [mm] x_1, [/mm] a bzw. d, [mm] y_2, [/mm] b.
Da [mm] T_1 [/mm] im ersten Drittel der Strecke [mm] \overline{PQ} [/mm] liegen soll, muss
auch gelten: [mm] x_1=\bruch{2}{3}d [/mm] und [mm] y_1=\bruch{1}{3}d.
[/mm]
Aus diesen Beziehungen lassen sich d und b berechnen.
Die beiden Ellipsen haben natürlich 4 gemeinsame Tangenten
und 4 Schnittpunkte (Symmetrie ausnützen !)
LG
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