Parabel Ungleichung < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:58 Sa 23.11.2013 | | Autor: | timmexD |
Guten Tag Mitglieder des Matheforum,
ich brauche eure Hilfe. Ich habe die Gleichung [mm] f_t(x)=\bruch{1}{t^2}x^2+2x-t. [/mm]
Ich muss den Parameter t so bestimmen, dass die Parabel zwei oder genau einen oder keinen Punkt mit der x-Achse gemeinsam hat.
Ich habe die ABC-Formel verwendet.
Also: [mm] -2+/-\wurzel{2^2-4\*\bruch{1}{t^2}\*(-t) }/2\bruch{1}{t^2}
[/mm]
Die Diskriminante ist ja 4 + [mm] \bruch{4}{t} [/mm]
Jetzt komme ich nicht mehr weiter. Ich habe eine Ungleichung daraus gemacht. [mm] 4+\bruch{4}{t}>0. [/mm] Darf ich jetzt mit t multiplizieren, so dass das t im Nenner rausfällt? Das dann steht? 4t+4? Oder muss ich mit dem t im Nenner weiterrechnen? Danke :D
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Hallo,
> Guten Tag Mitglieder des Matheforum,
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> ich brauche eure Hilfe. Ich habe die Gleichung
> [mm]f_t(x)=\bruch{1}{t^2}x^2+2x-t.[/mm]
> Ich muss den Parameter t so bestimmen, dass die Parabel
> zwei oder genau einen oder keinen Punkt mit der x-Achse
> gemeinsam hat.
> Ich habe die ABC-Formel verwendet.
>
> Also: [mm]-2+/-\wurzel{2^2-4\*\bruch{1}{t^2}\*(-t) }/2\bruch{1}{t^2}[/mm]
>
Das ist prinzipiell schon richtig, aber so ohne Klammern katastrophal notiert!
> Die Diskriminante ist ja 4 + [mm]\bruch{4}{t}[/mm]
> Jetzt komme ich nicht mehr weiter. Ich habe eine
> Ungleichung daraus gemacht. [mm]4+\bruch{4}{t}>0.[/mm] Darf ich
> jetzt mit t multiplizieren, so dass das t im Nenner
> rausfällt? Das dann steht? 4t+4? Oder muss ich mit dem t
> im Nenner weiterrechnen? Danke :D
Es kommt darauf an, was in der Aufgabenstellung über den Parameter t gesagt ist. Da sollte unbedingt dabei stehen, welche Werte t annehmen darf. Bitte reiche das noch nach!
Grundsätzlich kann man mit deiner Ungleichung arbeiten. Ihre Lösungsmenge liefert alle t, für die es zwei Lösungen gibt. Wenn [mm] t\in\IR\setminus\{0\} [/mm] sein darf, dann musst du beim Multiplizieren mit t jedoch eine Fallunterscheidung vornehmen. Für negative t würde sich nämlich deine Ungleichheit umkehren!
Wenn man gleichzeitig auch noch dasjenige t 'miterwischen' möchte, für welches es genau eine Lösung gibt, könnte man auch
[mm] 4+\bruch{4}{t}\ge{0}
[/mm]
betrachten.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Sa 23.11.2013 | | Autor: | timmexD |
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
In der Aufgabenstellung steht nur: Untersuchen Sie, für welche Werte des Paramters die zugehörige Parabel zwei oder genau einen oder keinen Punkt mit der x-Achse gemeinsam hat.
Also kann ich doch 4+$ [mm] 4+\bruch{4}{t}\ge{0} [/mm] $ mit t multiplizieren. Dann steht noch 4t+4>0 jetzt mache ich minus 4: 4t>-4 / geteilt durch 4
Dann steht: t>-1 sein. Stimmt das?
Danke :DD
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 Sa 23.11.2013 | | Autor: | timmexD |
Tippfehler. Sollte 4+ [mm] \bruch{4}{t} [/mm] heißen
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Hallo,
> Vielen Dank für die schnelle Antwort.
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> In der Aufgabenstellung steht nur: Untersuchen Sie, für
> welche Werte des Paramters die zugehörige Parabel zwei
> oder genau einen oder keinen Punkt mit der x-Achse
> gemeinsam hat.
Dann ist sie unsauber gestellt. Denn zumindest t=0 hätte der Autor ausschließen müssen. Mache dir klar, weshalb!
> Also kann ich doch 4+[mm] 4+\bruch{4}{t}\ge{0}[/mm] mit t
> multiplizieren. Dann steht noch 4t+4>0 jetzt mache ich
> minus 4: 4t>-4 / geteilt durch 4
> Dann steht: t>-1 sein. Stimmt das?
Nein, das stimmt eben nicht. Denn die Umformung, also mit t zu multiplizieren und dann mit der Ungleichung
4t+4>0
weiter zu rechnen, stimmt ja eben nur für t>0, also kommt für diesen Fall eben gerade t>0 heraus. Jetzt musst du noch t<0 gesondert betrachten. Wenn man die Ungleichung mit negativem t multipliziert, wie lautet sie dann (ich habe es dir oben bereits angedeutet)?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Sa 23.11.2013 | | Autor: | timmexD |
Danke :D
Aber t kann doch null sein, da [mm] 4+\bruch{4}{t} [/mm] 4 ergibt.
Wenn man mit -t multipliziert wird das größer als ein kleiner als zeichen
also : -4t +4<0 ?? Ich verstehe irgendwie nicht, wie das gemeint ist.
T kann Null annehmen, weil dann immer noch 4 unter der Diskriminante steht. Wenn t jedoch kleiner als -1 ist, gibt es keine Nullstelle. wenn es gleich minus 1 ist, gibt es eine Nullstelle. Was ist daran falsch?
Danke :D
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Hallo,
> Danke :D
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> Aber t kann doch null sein, da [mm]4+\bruch{4}{t}[/mm] 4 ergibt.
Nein, schau dir mal den Funktionsterm an. Der ist für t=0 ist dieser doch überhaupt nicht definiert! Aber auch die Diskriminante wäre für t=0 nicht definiert. Man darf nämlich nicht durch Null dividieren!
> Wenn man mit -t multipliziert wird
Davon wurde nirgends gesprochen!
> das größer als ein
> kleiner als zeichen
> also : -4t +4<0 ?? Ich verstehe irgendwie nicht, wie das
> gemeint ist.
Wenn du annimmst, dass t negativ ist, dann führt die Multiplikation mit t auf die Ungleichung
4t+4<0
> T kann Null annehmen, weil dann immer noch 4 unter der
> Diskriminante steht. Wenn t jedoch kleiner als -1 ist, gibt
> es keine Nullstelle. wenn es gleich minus 1 ist, gibt es
> eine Nullstelle. Was ist daran falsch?
Hättest du ein Beispiel genommen, etwa t=-2 und das eingesetzt, dann hättest du diese letzte Frage nicht stellen müssen, denn es ist
[mm] 4+\bruch{4}{-2}=4-2=2>0
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Sa 23.11.2013 | | Autor: | timmexD |
Wenn ich habe 4t+4<0 umstelle, kommt für t wieder t<-1 heraus. Aber wenn ich das in die Gleichung [mm] 4+\bruch{4}{t} [/mm] einsetze, passt es wieder nicht, weil wie mit dem Beispiel -2 auch eine positive Zahl rauskommt. Mit welcher Gleichung muss ich jetzt arbeiten?
Ich weiß, dass man durch Null nicht dividieren darf, aber die 4 bleibt doch trotzdem stehen oder nicht ??
Danke ;D
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Sa 23.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Wenn ich habe 4t+4<0 umstelle, kommt für t wieder t<-1
> heraus. Aber wenn ich das in die Gleichung [mm]4+\bruch{4}{t}[/mm]
> einsetze, passt es wieder nicht, weil wie mit dem Beispiel
> -2 auch eine positive Zahl rauskommt. Mit welcher Gleichung
> muss ich jetzt arbeiten?
>
> Ich weiß, dass man durch Null nicht dividieren darf, aber
> die 4 bleibt doch trotzdem stehen oder nicht ??
>
> Danke ;D
Sortiere mal deine durchaus guten Gedanken.
Du hast [mm] 4+\frac{4}{t}>0 [/mm] zu lösen.
Addition mit [mm] \frac{4}{t} [/mm] liefert, ohne Problemen
[mm] 4>-\frac{4}{t}
[/mm]
Nun hast du vollkommen korrekt mit t multiplizieren wollen. Aber dabei musst du beachten, dass du, wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst, das Relationszeichen dreht.
Also müssen wir hier zwei Fälle betrachten, nämlich t>0 und t<0, den Fall t=0 musst du hier ausschliessen, da du nicht durch Null teilen darfst.
Betrachten wir also t>0, dann wird aus [mm] 4>-\frac{4}{t} [/mm] nach Multiplikation mit (nach Voraussetzung positivem) t die Ungleichung 4t>-4, also t>-1, daher forderst du an t nun, dass t>0 (Voraussetzung) und dass t>1 (Lösung der Ungleichung). Die Lösung ist hier auch Zulässig, da die die Voraussetzung noch einschränkt, aber ihr nicht widerspricht. Daher ist eine Teillösung t>1
Die Voraussetzung t>0 ist hier die "strengere" Forderung, daher ist die Teillösung hier t>0
Nehmen wir nun den Fall t<0, dann wird aus [mm] 4>-\frac{4}{t} [/mm] nach Multiplikation mit (nach Voraussetzung negativem) t die Ungleichung 4t<-4, also t<-1. Hier ist die Voraussetzung Lösung t<-1 "strenger", also ist die Teillösung des zweiten Falles t<-1.
Die Gesamtlösung der Ungleichung [mm] 4+\frac{4}{t}>0 [/mm] ist also
[mm] IL=\{t\in\IR|t>0\vee t<-1\}
[/mm]
EDIT: Danke für die Verbesserung meines Vorzeichenfehlers, Diophant
Marius
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 13:48 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marius,
die Diskriminante heißt hier 4+4/t, insofern stimmt auch deine Lösungsmenge für t nicht.
Gruß, Diophant
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 13:53 Sa 23.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Marius,
>
> die Diskriminante heißt hier 4+4/t, insofern stimmt auch
> deine Lösungsmenge für t nicht.
>
> Gruß, Diophant
Hallo Diophant
Danke, schon verbessert.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Sa 23.11.2013 | | Autor: | timmexD |
Vielen Dank :D
Eine letzte Frage habe ich noch. Wenn man t <0 haben will, steht ja dann t<-1. Aber wenn ich jetzt z.B -2 für t einsetze, kommt trotzdem ein positive Zahl unter der Wurzel heraus. Aber nach der Gleichung darf das ja nicht sein.
2. Wenn ich für t=-1 einsetzte, kommt ja eine Lösung raus oder nicht?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Sa 23.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Vielen Dank :D
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> Eine letzte Frage habe ich noch. Wenn man t <0 haben will,
> steht ja dann t<-1. Aber wenn ich jetzt z.B -2 für t
> einsetze, kommt trotzdem ein positive Zahl unter der Wurzel
> heraus. Aber nach der Gleichung darf das ja nicht sein.
Wieso? Du suchst doch gerade die Werte für t, so dass die Wurzel positiv ist.
>
> 2. Wenn ich für t=-1 einsetzte, kommt ja eine Lösung raus
> oder nicht?
[mm] 4+\frac{4}{-1}=4-4=0
[/mm]
t=-1 ist die einzige Lösung, für die die Wurzel Null wird, hier bekommst du dann genau eine Nullstelle der Parabel.
>
> Danke
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Sa 23.11.2013 | | Autor: | timmexD |
Danke.
Nein, ich suche auch noch Werte für t, für die eine negative Zahl unter der Wurzel herauskommt. Ich bin da so vorgegangen wie ihr: t<0 4t<-4
Dann kommt t<-1 raus. Aber das ergibt wieder einen positiven Wert unter der Wurzel, ich will aber einen negativen. Aber die Ungleichung habe ich doch richtig aufgestellt, oder?
Danke :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Sa 23.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Danke.
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> Nein, ich suche auch noch Werte für t, für die eine
> negative Zahl unter der Wurzel herauskommt. Ich bin da so
> vorgegangen wie ihr: t<0 4t<-4
> Dann kommt t<-1 raus.
Ich vermute, dass du unter der Voraussetzung t>0 gearbeitet hast. Dann widerspricht die Lösung t<-1 der Voraussetzung, daher hat der Fall keine Lösung
Betrachte noch [mm] 4<-\frac{4}{t} [/mm] unter der Voraussetzung, dass t>0
Dann bekommst du
[mm] $4+\frac{4}{t}<0$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow\frac{4}{t}<-4$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow4<-4t$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow-1>t$
[/mm]
Das fürht zu keiner Lösung, da die Voraussetzung t>0 und die Lösung t<-1 nicht "kompatibel" sind.
Unter der Voraussetzung t>0
[mm] $4+\frac{4}{t}<0$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow\frac{4}{t}<-4$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow4>-4t$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow-1
Hier bekommst du dann als Lösung die Zahlen zwischen 0 und -1.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Sa 23.11.2013 | | Autor: | timmexD |
Danke :DD
ich verstehe jetzt gar nichts mehr. Wenn ich für t eine positive Zahl will, muss ich ja t>0 setzen. Also :$ [mm] 4+\frac{4}{t}>0 [/mm] $ Wenn ich $ [mm] 4+\frac{4}{t} [/mm] $ < 0 setze, will ich ja eine Zahl, die negativ ist. Für eine positive Zahl kommt t > -1, für eine negative Zahl kommt t < -1 raus. Aber irgendwie stimmt das nicht. Immer noch das gleiche Problem. Wenn ich z.B t= -3 einsetze, kommt ja trotdem eine positive Zahl raus. Aber ich habe doch die Gleichung $ [mm] 4+\frac{4}{t} [/mm] $ < 0 gesetzt. Ich verstehe das jetzt nicht mehr.
Vielleicht kann mir jemand bei meinem Problem helfen. Danke :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Sa 23.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Danke :DD
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> ich verstehe jetzt gar nichts mehr. Wenn ich für t eine
> positive Zahl will, muss ich ja t>0 setzen. Also :[mm] 4+\frac{4}{t}>0[/mm]
> Wenn ich [mm]4+\frac{4}{t}[/mm] < 0 setze, will ich ja eine Zahl,
> die negativ ist. Für eine positive Zahl kommt t > -1, für
> eine negative Zahl kommt t < -1 raus. Aber irgendwie stimmt
> das nicht. Immer noch das gleiche Problem. Wenn ich z.B t=
> -3 einsetze, kommt ja trotdem eine positive Zahl raus. Aber
> ich habe doch die Gleichung [mm]4+\frac{4}{t}[/mm] < 0 gesetzt. Ich
> verstehe das jetzt nicht mehr.
> Vielleicht kann mir jemand bei meinem Problem helfen.
> Danke :D
Du verwirrst dich glaube ich gerade selber, weil du das Ziel der Etappen aus den Augen verlierst.
Du hast eine Parameterabhängige Disktiminante [mm] 4+\frac{4}{t} [/mm] bekommen, und musst nun überlegen, für welche t es genau zwei Lösungen gibt, für welches t es genau eine Lösung gibt und für welches t es keine Lösung gibt.
Fangen wir mal mit dem Fall "Genau eine Lösung" an.
Dann muss die Diskriminante den Wert Null annehmmen
Also soll gelten:
[mm] $4+\frac{4}{t}=0$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow4=-\frac{4}{t}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow4t=-4$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 4t=-1$
Für t=1 ist die Diskriminante also Null, es gibt genau eine Lösung
Nehmen wir nun den Fall "es gibt zwei Lösungen" an.
Hier muss gelten [mm] $4+\frac{4}{t}>0$
[/mm]
Den ersten Schritt, das subtrahieren von [mm] \frac{4}{t} [/mm] kannst du nun noch ohne Probleme erledigen, du bekommst also:
[mm] $4+\frac{4}{t}>0$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow4>-\frac{4}{t}$
[/mm]
Jetzt müssten wir mit t multiplizieren, dabei müssen wir beachten, dass sich das Zeichen dreht, wenn wir mit einer negativen Zahl multiplizieren.
Also machen wir zwei Fälle, t>0 und t<0
Für t>0 gilt:
[mm] $4+\frac{4}{t}>0$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow4>-\frac{4}{t}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow4t>-4$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] t>-1$
In diesem Fall ist also t>0 gefordert, die Lösung sagt aber t>-1, die Forderung t>0 ist "Strenger", also ist t>0
Für t<0 gilt:
[mm] $4+\frac{4}{t}>0$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow4>-\frac{4}{t}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow4t<-4$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] t<-1$
Nun ist die Lösung t<-1 strenger, also ist die zweite Teillösung t<-1
Also ist für t>0 oder t<-1 die Diskriminante größer als Null, es gibt also zwei Lösungen
Bleibt noch der dritte Fall, die Diskriminante ist kleiner als Null, es gibt also keine Lösung
Hier soll gelten [mm] $4+\frac{4}{t}<0$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow4>-\frac{4}{t}$
[/mm]
Und wieder müssen wir wir mit t multiplizieren, daher machen wir wieder zwei Fälle, t>0 und t<0
Für t>0 gilt:
[mm] $4+\frac{4}{t}<0$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow4<-\frac{4}{t}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow4t<-4$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] t<-1$
In diesem Fall ist also t>0 gefordert, die Lösung sagt aber t<-1, dieser Teilfall kann also nicht eintreten, da eine Zahl nicht gleichzeitig <-1 und >0 sein kann
Für t<0 gilt:
[mm] $4+\frac{4}{t}<0$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow4<-\frac{4}{t}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow4t>-4$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] t>-1$
Nun ist t<0 gefodert, t>-1 aber die Lösung, daher bekommst du für-1<t<0 keine Lösung, da die Diskriminante kleiner als Null ist
Zusammenfassung:
t=1: Diskiriminante ist Null, es gibt genau eine Lösung
-1<x<0: Diskriminante ist negativ, also keine Lösung
t>0 oder t<-1: Diskriminante ist positiv, also gibt es zwei Lösungen
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 So 24.11.2013 | | Autor: | timmexD |
Vielen Dank,
ich verstehe alles soweit, bis zu diesem Punkt.
Jetzt müssten wir mit t multiplizieren, dabei müssen wir beachten, dass sich das Zeichen dreht, wenn wir mit einer negativen Zahl multiplizieren.
Also machen wir zwei Fälle, t>0 und t<0
Für t>0 gilt:
Aber wieso? Wieso multiplizieren wir mit einem negativen t? Und mit einem positiven t ? Woher weiß man, dass man zwei Fälle vornehmen muss? Sonst verstehe ich es. Nur mit der Vorraussetzung t>0 und t<0 komme ich nicht klar, wieso man das macht.
Danke :DD Echt vielen Dank :D
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:23 So 24.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Vielen Dank,
>
> ich verstehe alles soweit, bis zu diesem Punkt.
>
> Jetzt müssten wir mit t multiplizieren, dabei müssen wir
> beachten, dass sich das Zeichen dreht, wenn wir mit einer
> negativen Zahl multiplizieren.
> Also machen wir zwei Fälle, t>0 und t<0
Über den Paremter t ist ja nichts bekannt, ausser, dass er nicht Null sein darf, denn dann würdest du ja durch Null teilen.
Da du nun aber mit t multiplizierst, und es einen Unterschied macht, ob du mit einer positiven Zahl multiplizierst, oder mit einer negativen Zahl, musst du dir hier also Gedanken machen, was passiert, wenn t postiv, also t>0 oder was passiert, wenn t negativ, also t<0 wäre.
Daher die Fallunterscheidung.
Marius
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> Guten Tag Mitglieder des Matheforum,
>
> ich brauche eure Hilfe. Ich habe die Gleichung
> [mm]f_t(x)=\bruch{1}{t^2}x^2+2x-t.[/mm]
> Ich muss den Parameter t so bestimmen, dass die Parabel
> zwei oder genau einen oder keinen Punkt mit der x-Achse
> gemeinsam hat.
> Ich habe die ABC-Formel verwendet.
>
> Also: [mm]-2+/-\wurzel{2^2-4\*\bruch{1}{t^2}\*(-t) }/2\bruch{1}{t^2}[/mm]
Hallo,
das schreiben wir jetzt mal vernünftig auf:
[mm] x_{1,2}= \bruch{-2\pm\wurzel{2^2-4*\bruch{1}{t^2}*(-t)}}{2*\bruch{1}{t^2}},
[/mm]
und formen dann so um, daß unter der Wurzel kein Bruch mehr ist:
[mm] ...=\bruch{-2t^2\pm t^2\wurzel{4+\bruch{4}{t}}}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{-2t^2\pm\wurzel{t^4(4+\bruch{4}{t})}}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{-2t^2\pm\wurzel{4t^4+4t^3}}{2}.
[/mm]
Um zu entscheiden, ob es keine, eine oder zwei Lösungen gibt, ist der Term [mm] 4t^4+4t^3 [/mm] zu untersuchen.
Genau eine Lösung hat man für
[mm] 0=4t^4+4t^3=4t^3(t+1).
[/mm]
Wie kann dieses Produkt 0 ergeben?
Wenn [mm] t^3=0 [/mm] oder t+1=0,
also t=0 oder t=-1.
t=0 ist verboten, also bleibt:
für t=-1 gibt es genau eine Lösung, nämlich x=...
Zwei Lösungen hat man für
[mm] 0<4t^4+4t^3=4t^3(t+1).
[/mm]
Wie kann dieses Produkt größer 0 sein?
a.
[mm] t^3>0 [/mm] und t+1>0,
also t>0 und t>-1,
insgesamt also t>0, dh. [mm] t\in ]0,\infty[
[/mm]
b.
[mm] t^3<0 [/mm] und t+1<0,
also ... ... ... ...
Keine Lösung hat man für
[mm] 0>4t^4+4t^3=4t^3(t+1).
[/mm]
Wie kann dieses Produkt kleiner als 0 sein?
a.
[mm] t^3>0 [/mm] und t+1<0,
also ... ... ... ...
b.
[mm] t^3<0 [/mm] und t+1>0,
also ... ... ... ...
LG Angela
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