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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Mo 09.09.2013 | | Autor: | SoWhat |
| Aufgabe | Ich betrachte die zwei Funktionen:
[mm] f(x)=a*x^2+b*x-c
[/mm]
[mm] g(x)=c*x^2+b*x-a
[/mm]
a,b,c [mm] \in \IN [/mm] ; x [mm] \in \IR [/mm] ; |
Hallo!
Mir geht es um die Betrachtung der Nullstellen.
Genauer gesagt will ich zeigen, dass nicht beide Funktionen mit selben Parametern a,b,c gleichzeitig Nullstellen x>1 besitzen können.
Mittels GeoGebra ersieht man, dass wenn f(x) und g(x) die selbe Nullstelle besitzen x=1 sein muss
ist dies nicht der Fall, so ist entweder
- g(x) > 1 und 0<f(x)<1
oder
- f(x)>1 und 0<g(x)<1
Kann mir wer einen Ansatz/Lösung für einen formalen Beweis liefern? Es ist Vorlesungsfreie Zeit und damit ist das garantiert kein Übungsblattkram.....
Danke schonmal und liebe Grüße!
( Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. )
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich betrachte die zwei Funktionen:
>
> [mm]f(x)=a*x^2+b*x-c[/mm]
> [mm]g(x)=c*x^2+b*x-a[/mm]
>
> a,b,c [mm]\in \IN[/mm] ; x [mm]\in \IR[/mm] ;
>
> Hallo!
> Mir geht es um die Betrachtung der Nullstellen.
> Genauer gesagt will ich zeigen, dass nicht beide Funktionen
> mit selben Parametern a,b,c gleichzeitig Nullstellen x>1
> besitzen können.
>
> Mittels GeoGebra ersieht man, dass wenn f(x) und g(x) die
> selbe Nullstelle besitzen x=1 sein muss
>
> ist dies nicht der Fall, so ist entweder
>
> - g(x) > 1 und 0<f(x)<1
>
> oder
>
> - f(x)>1 und 0<g(x)<1
>
>
>
> Kann mir wer einen Ansatz/Lösung für einen formalen
> Beweis liefern? Es ist Vorlesungsfreie Zeit und damit ist
> das garantiert kein Übungsblattkram.....
>
> Danke schonmal und liebe Grüße!
Ich sehe in keinster Weise, weshalb deine Behauptung stimmen sollte. Beachte: wenn du die beiden Funktionen gleich Null setzt, dann wird in beiden Fällen die Diskriminante der resultierenden quadratischen Gleichung die selbe sein. Nimm einmal der Einfachheit halber an, dass a und c positiv sind. Dann gibt es auf jeden Fall jeweils zwei Nullstellen. Weiter kannst du dann mal die größere Nullstelle von f>1 setzen. Mit obiger Annahme kann man die betreffende Ungleichung auf c<a-b umformen. Und ich sehe keinen Grund, weshalb es solche a,b,c nicht geben sollte.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Mo 09.09.2013 | | Autor: | abakus |
> Ich betrachte die zwei Funktionen:
>
> [mm]f(x)=a*x^2+b*x-c[/mm]
> [mm]g(x)=c*x^2+b*x-a[/mm]
>
> a,b,c [mm]\in \IN[/mm] ; x [mm]\in \IR[/mm] ;
>
> Hallo!
> Mir geht es um die Betrachtung der Nullstellen.
> Genauer gesagt will ich zeigen, dass nicht beide Funktionen
> mit selben Parametern a,b,c gleichzeitig Nullstellen x>1
> besitzen können.
>
> Mittels GeoGebra ersieht man, dass wenn f(x) und g(x) die
> selbe Nullstelle besitzen x=1 sein muss
>
> ist dies nicht der Fall, so ist entweder
>
> - g(x) > 1 und 0<f(x)<1
>
> oder
>
> - f(x)>1 und 0<g(x)<1
>
>
>
> Kann mir wer einen Ansatz/Lösung für einen formalen
> Beweis liefern? Es ist Vorlesungsfreie Zeit und damit ist
> das garantiert kein Übungsblattkram.....
>
Hallo,
den Ansatz kannst du selber liefern (jedenfalls den Einstieg dazu):
Berechne für beide Funktionen die Nullstellen nach der dir bekannten Lösungsformel (abc-Formel oder p-q-Formel).
Dann schauen wir uns die Terme an um zu sehen, unter welchen Bedingungen für a,b,c da Lösungen größer 1 rauskommen oder auch nicht.
Gruß Abakus
> Danke schonmal und liebe Grüße!
> ( Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. )
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Mo 09.09.2013 | | Autor: | SoWhat |
Danke für die schnellen Antworten!
Ich muss eine Einschränkung hinzufügen:
Es sollen die positiven Nullstellen betrachtet werden!
(allerdings kann die Betrachtung für negative x-Werte bezüglich -1 analog geführt werden...)
Diophant erkennt mein Problem nicht.... da ich davon ausgehe, dass ihr Geogebra kennt, hier die Datei mit den 2 Beispielparabeln und schiebereglern für die Parameter!
Zur Erinnerung: a,b,c sollen [mm] \in \IN [/mm] sein!
Zu Abakus:
Der Unterschied in den Lösungen (der positiven Nst.) ergibt sich natürlich im Nenner, wo einmal a und einmal c auftritt:
Nst. zu f(x):
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{-b + \wurzel{D}}{2 * a}
[/mm]
Nst. zu g(x):
[mm] \overset{***}{x}_1 [/mm] = [mm] \bruch{-b + \wurzel{D}}{2 * c}
[/mm]
Wann größer 1?
[mm] x_1 [/mm] > 1
[mm] \gdw \bruch{-b + \wurzel{D}}{2 * a} [/mm] >1
[mm] \gdw [/mm] -b + [mm] \wurzel{D} [/mm] > 2*a
[mm] \overset{***}{x}_1> [/mm] 1
[mm] \gdw \bruch{-b + \wurzel{D}}{2 * c} [/mm] >1
[mm] \gdw [/mm] -b + [mm] \wurzel{D} [/mm] > 2*c
Beide lägen also rechts der 1, wenn
[mm] \begin{center}
-b + \wurzel{D} > 2*a\\
und\\
-b + \wurzel{D} > 2*c
\end{center}
[/mm]
gilt.
Meinst du das Abakus? Aber wie gehts jetzt weiter??!
(Super!! Hier funktioniert LaTex !!!)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Mo 09.09.2013 | | Autor: | SoWhat |
https://www.dropbox.com/s/diz4mrd810oq98x/beispiel.ggb
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Mo 09.09.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib D auf und forme um bis das steht D>...
oder 4a>..
und 4c>...
dann kannst du überlegen, ob beides möglich ist.
übrigens mit deinem f und h hab ich bei a=15, b=26,c=23 2 nst größer 1 beim rumspielen gefunden.
Gruss leduart
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