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| Aufgabe | | Welcher Punkt der Parabel p: y²= 4,5x liegt der Geraden g: 8y = 6x +37 am nächsten? Wie groß ist der Abstand? |
Hallo zusammen,
Ich bestimme wie im Lösungsbuch steht die Tangente, die zur gegebenen Geraden parallel ist:
Gleichung der Tangenten: y= [mm] \bruch{3}{4}x +\bruch{3}{2}.
[/mm]
Laut Lösungsbuch berürt diese die Parabel im Punkt B(2/3).
Ich kriege als x-Kooridnate des Punktes aber [mm] \bruch{9}{8} [/mm] raus und nicht 2.
So rechne ich:
[mm] (\bruch{3}{4}x +\bruch{3}{2})² [/mm] = [mm] \bruch{9}{2}x
[/mm]
[mm] \bruch{9}{16}x² +\bruch{9}{4}x -\bruch{9}{2}x +\bruch{9}{4}= [/mm] 0
[mm] \bruch{9}{16}x² -\bruch{9}{4}x +\bruch{9}{4}= [/mm] 0
[mm] \bruch{9}{8} \pm \wurzel{\bruch{81}{64} -\bruch{9}{4}}
[/mm]
[mm] \bruch{9}{8} \pm \wurzel{\bruch{81}{64} -\bruch{144}{64}}
[/mm]
x= [mm] \bruch{9}{8}
[/mm]
Was rechne ich also falsch?
MfG
matherein
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Hallo matherein,
> Welcher Punkt der Parabel p: y²= 4,5x liegt der Geraden g:
> 8y = 6x +37 am nächsten? Wie groß ist der Abstand?
> Hallo zusammen,
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> Ich bestimme wie im Lösungsbuch steht die Tangente, die zur
> gegebenen Geraden parallel ist:
>
> Gleichung der Tangenten: y= [mm]\bruch{3}{4}x +\bruch{3}{2}.[/mm]
>
> Laut Lösungsbuch berürt diese die Parabel im Punkt B(2/3).
>
> Ich kriege als x-Kooridnate des Punktes aber [mm]\bruch{9}{8}[/mm]
> raus und nicht 2.
> So rechne ich:
>
> [mm](\bruch{3}{4}x +\bruch{3}{2})²[/mm] = [mm]\bruch{9}{2}x[/mm]
>
> [mm]\bruch{9}{16}x² +\bruch{9}{4}x -\bruch{9}{2}x +\bruch{9}{4}=[/mm]
> 0
>
> [mm]\bruch{9}{16}x² -\bruch{9}{4}x +\bruch{9}{4}=[/mm] 0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Hier klammere [mm] $\frac{9}{16}$ [/mm] aus, dann bekommst du
[mm] $\frac{9}{16}\cdot{}(x^2-4x+4)=0\Rightarrow x^2-4x+4=0$
[/mm]
Dann nochmal die p/q-Formel ansetzen, da kommst du auf die 2
>
> [mm]\bruch{9}{8} \pm \wurzel{\bruch{81}{64} -\bruch{9}{4}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{9}{8} \pm \wurzel{\bruch{81}{64} -\bruch{144}{64}}[/mm]
>
> x= [mm]\bruch{9}{8}[/mm]
>
> Was rechne ich also falsch?
Die p/q-Formel kannst du nur auf normierte Gleichungen anwenden, also wo der Koeffizient vor dem [mm] x^2 [/mm] eine 1 ist, also bei Gleichungen der Form [mm] $x^2+px+q=0$ [/mm] (bzw. [mm] $1\cdot{}x^2+p\cdot{}x+q=0$)
[/mm]
>
> MfG
> matherein
>
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:37 Di 29.07.2008 | | Autor: | matherein |
Danke für die Antwort schachuzipus.
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| Aufgabe | | Welcher Punkt der Parabel p: y²= 4,5x liegt der Geraden g: 8y = 6x +37 am nächsten? Wie groß ist der Abstand? |
Hallo zusammen,
im Lösungbuch steht: Der Schnittpunkt der Normalen im Berührpunkt mit der gegebenen Geraden ist der gesuchte Punkt. Normale:
y= [mm] -\bruch{4}{3}x [/mm] + [mm] \bruch{17}{3}.
[/mm]
Ich weiß aber nicht wie man auf diese Normale kommt!!!
Für Hilfe wäre ich dankbar.
matherein
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Di 29.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Welcher Punkt der Parabel p: y²= 4,5x liegt der Geraden g:
> 8y = 6x +37 am nächsten? Wie groß ist der Abstand?
> Hallo zusammen,
>
> im Lösungbuch steht: Der Schnittpunkt der Normalen im
> Berührpunkt mit der gegebenen Geraden ist der gesuchte
> Punkt. Normale:
>
> y= [mm]-\bruch{4}{3}x[/mm] + [mm]\bruch{17}{3}.[/mm]
>
> Ich weiß aber nicht wie man auf diese Normale kommt!!!
Die Normal steht senkrecht auf der Tangenten im gleichen Punkt.
Wenn an die Geradengleichung nach y umstellt, erhält man den Geradenanstieg m=6/8.
In dem der Gerade am nächsten liegenden Punkt der Parabel ist dessen Tangente parallel zur Geraden, diese Tangente hat also auch den Anstieg 6/8.
Wenn eine Gerade den Anstieg m hat, hat hre Senkrechte den Anstieg -1/m. Also hat die Normale den Anstieg -8/6 (gekürzt -4/3).
Außerdem Kennst du noch einen Punt dieser Normalen: Es ist der Kurvenpunkt P, dessen Tangentenanstieg 6/8 beträgt (den musst du natürlich erst mit Hilfe der ersten Ableitug ermitteln.
Mit einem Normalenpunkt und dem Normalenanstieg kannst du die entsprechende Geradengleichung aufstellen.
Gruß Abakus
>
> Für Hilfe wäre ich dankbar.
> matherein
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| Aufgabe | | Welcher Punkt der Parabel p: y²= 4,5x liegt der Geraden g: 8y = 6x +37 am nächsten? Wie groß ist der Abstand? |
Hallo abakus,
erstmal danke für die Antwort.
Du schreibst:
>Die Normal steht senkrecht auf der Tangenten im gleichen
>Punkt.
Meinst du damit den Punkt, in dem die parallele Tangente die Parabel berührt, also den Punkt B(2/3)?
Wir haben außerdem noch keine Ableitungen durchgenommen. Wie kann ich denn ohne Ableitung auf den Normalenpunkt kommen?
matherein
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Mi 30.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Welcher Punkt der Parabel p: y²= 4,5x liegt der Geraden g:
> 8y = 6x +37 am nächsten? Wie groß ist der Abstand?
> Hallo abakus,
>
> erstmal danke für die Antwort.
>
> Du schreibst:
> >Die Normal steht senkrecht auf der Tangenten im gleichen
> >Punkt.
>
> Meinst du damit den Punkt, in dem die parallele Tangente
> die Parabel berührt, also den Punkt B(2/3)?
Ja, den meine ich. Und dort steht die Normale senkrecht auf der Tangente.
>
> Wir haben außerdem noch keine Ableitungen durchgenommen.
> Wie kann ich denn ohne Ableitung auf den Normalenpunkt
> kommen?
Irgendwie hast du ihn ja rausbekommen - oder hast du ihn nur aus dem Lösungsbuch?
>
>
> matherein
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| Aufgabe | | Welcher Punkt der Parabel p: y²= 4,5x liegt der Geraden g: 8y = 6x +37 am nächsten? Wie groß ist der Abstand? |
Ja, abakus.
Die Normalengleichung mti dem Normalenpunkt habe ich aus dem Lösungsbuch.
Diese Aufgabe müsste man aber auch ohne Ableitung lösen können, weil Ableitungen da noch nicht behandelt wurden.
Gruß
matherein
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Hallo, es gibt eine Möglichkeit, ohne Ableitung an die Lösung zu kommen, es gibt eine zur gegebenen Gerade [mm] y_1=\bruch{3}{4}x+\bruch{37}{8} [/mm] parallele Gerade, für die gilt [mm] y_2=\bruch{3}{4}x+n, [/mm] dieses n kennen wir leider (noch) nicht. Diese Gerade berührt [mm] y=\wurzel{4,5x}. [/mm] Setzen wir [mm] y_2 [/mm] und die Funktion [mm] y=\wurzel{4,5x} [/mm] gleich:
[mm] \bruch{3}{4}x+n=\wurzel{4,5x}
[/mm]
[mm] \bruch{9}{16}x^{2}+\bruch{6}{4}xn+n^{2}=4,5x
[/mm]
[mm] x^{2}+(\bruch{24}{9}n-\bruch{72}{9})x+\bruch{16}{9}n^{2}=0
[/mm]
jetzt mit p-q-Formel
[mm] x_1_2= [/mm] ....
jetzt kommt folgende Überlegung: die gesuchte Gerade [mm] y_2 [/mm] und die Funktion [mm] y=\wurzel{4,5x} [/mm] haben nur einen Punkt gemeinsam, also gibt es nur eine Lösung, also ist die Diskriminante (der Ausdruck unter der Wurzel) gleich Null, du bekommst n=1,5, jetzt kannst du den Punkt berechnen, an denen sich [mm] y_2 [/mm] und [mm] y=\wurzel{4,5x} [/mm] berühren,
[Dateianhang nicht öffentlich]
natürlich ist der Weg über die Ableitung wesentlich eleganter,
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Steffi,
> du bekommst n=1,5, jetzt kannst du den Punkt berechnen, an
> denen sich [mm]y_2[/mm] und [mm]y=\wurzel{4,5x}[/mm] berühren,
Dieser Punkt ist doch B(2/3). Den hatte ich schon raus.
Es geht mir darum, wie ich auf die Gleichung der Normalen, die nach dem
Lösungsbuch y= [mm] -\bruch{4}{3}x [/mm] + [mm] \bruch{17}{3} [/mm] ist, komme.
Die Steigung der Normalen leuchtet mir ein, aber den Normalenpunkt
[mm] \bruch{17}{3} [/mm] würde ich gerne ohne Ableitung lösen, da es theoretisch auch ohne Ableitung geht und wir noch keine Ableitung behandelt haben.
Gruß
matherein
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Hallo,
der Punkt (2;3) ist dir also klar, zwei Geraden sind zueinander senkrecht, wenn [mm] m_1*m_2=-1
[/mm]
du hast [mm] y=\bruch{3}{4}x+\bruch{37}{8} [/mm] somit hat die senkrechte Gerade [mm] -\bruch{4}{3} [/mm] als Anstieg, benötigen wir noch n
[mm] y=-\bruch{4}{3}x+n [/mm] auf dieser Geraden liegt auch der Punkt (2;3), setzen wir ihn ein
[mm] 3=-\bruch{4}{3}*2+n [/mm] jetzt sollte n= ... kein Problem mehr sein,
Steffi
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| Aufgabe | | Welcher Punkt der Parabel p: y²= 4,5x liegt der Geraden g: 8y = 6x +37 am nächsten? Wie groß ist der Abstand? |
Hallo Steffi und vielen Dank für die Antwort!
Im Buch Lösungsbuch steht, daß der Schnittpunkt [mm] S(\bruch{1}{2}/3) [/mm] ist.
Wenn ich aber in der Normalengleichung oder der gegebenen
Gleichung y = [mm] \bruch{3}{4}x [/mm] + [mm] \bruch{37}{8} [/mm] für x [mm] \bruch{1}{2} [/mm] einsetze, erhalte ich den als y-Koordinate des Schnittpunkt 5 raus.
Das ist doch sicher wieder ein Fehler im Buch, oder?
Außerdem steht im Buch: Der Abstand beträgt [mm] \left| \overrightarrow{BS} \right| [/mm] = 2,5
Was aber bedeutet das und wie rechnet man das aus?
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Hallo,
der Schnittpunkt von [mm] y=\bruch{3}{4}x+\bruch{37}{8} [/mm] und der Normalen [mm] y=-\bruch{4}{3}x+\bruch{17}{3} [/mm] ist definitiv [mm] (\bruch{1}{2}; [/mm] 5), jetzt möchtest du noch den Abstand der beiden Punkte [mm] (\bruch{1}{2}; [/mm] 5) und (2;3) berechnen, benutze dazu noch den Punkt [mm] (\bruch{1}{2}; [/mm] 3), diese drei Punkte bilden ein rechtwinkliges Dreieck, du möchtest davon die Länge der Hypotenuse berechne, du kennst zwei Seiten und einen schönen Satz, der im rechtwinkligen Dreieck gilt,
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Sa 02.08.2008 | | Autor: | matherein |
Hallo Steffi,
danke, dass du mir wieder geholfen hast.
Bis zum nächsten Mal
matherein
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