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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:51 Mi 09.06.2010 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Es sei ein belibieges Paraboloid [mm] x^2+y^2=az [/mm] gegeben und es wird das Volumen betrachtet, das die Ebene z=a mit dem Paraboloid einschließt. Berechne die Schwerpunktkoordinaten [mm] \rho_0 [/mm] und [mm] z_0. [/mm] |
Hallo,
das [mm] \rho [/mm] weist darauf hin, dass alles in Zylindekoordinaten vollstatten gehen soll, also [mm] x=\rho cos(\varphi) [/mm] usw.
das Volumen habe ich bereits berechnet. Es gilt: [mm] V=\frac{\pi h^3}{2}. z_0 [/mm] konnte ich auch bereits berechnen, nämlich so: [mm] z_0=\frac{1}{V}\int_{B}\text{d}Vz=2h/3.
[/mm]
Nun soll aber bei [mm] \rho_0 [/mm] Null rauskommen, was logisch ist, weils ja ein entsprechendes Paraboloid ist. Wenn ich aber mit der gleichen Bedingung wie bei [mm] z_0 [/mm] ansetze, also [mm] \rho_0=\frac{1}{V}\int_{B}\text{d}V\rho, [/mm] komme ich immer auf einen Wert [mm] \neq [/mm] 0.
Muss man einen anderen Ansatz dafür machen? Oder warum kann es nicht klappen?
Gruß Unk.
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Hallo,
> das [mm]\rho[/mm] weist darauf hin, dass alles in Zylindekoordinaten
> vollstatten gehen soll, also [mm]x=\rho cos(\varphi)[/mm] usw.
>
> das Volumen habe ich bereits berechnet. Es gilt:
> [mm]V=\frac{\pi h^3}{2}. z_0[/mm] konnte ich auch bereits berechnen,
> nämlich so: [mm]z_0=\frac{1}{V}\int_{B}\text{d}Vz=2h/3.[/mm]
[mm] \checkmark
[/mm]
>
> Nun soll aber bei [mm]\rho_0[/mm] Null rauskommen, was logisch ist,
> weils ja ein entsprechendes Paraboloid ist. Wenn ich aber
> mit der gleichen Bedingung wie bei [mm]z_0[/mm] ansetze, also
> [mm]\rho_0=\frac{1}{V}\int_{B}\text{d}V\rho,[/mm] komme ich immer
> auf einen Wert [mm]\neq[/mm] 0.
>
> Muss man einen anderen Ansatz dafür machen? Oder warum
> kann es nicht klappen?
>
Mit deinem Ansatz für [mm] \rho [/mm] geht's nicht.
Berechne [mm] x_0 [/mm] und [mm] y_0 [/mm] analog zu [mm] z_0 [/mm] und folgere aus deinen Ergebnissen etwas für [mm] \rho_0.
[/mm]
Gruß
Sleeper
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Mo 14.06.2010 | | Autor: | valoo |
Heyho!
Gut, dass ich wohl nicht mal wirklich hinkriege, das Volumen zu berechnen...
Ich hab immer überhaupt keine Ahnung, wie man beim Integrieren die Grenzen zu wählen hat...
Bei [mm] \varphi [/mm] hab ich von 0 bis [mm] 2*\pi, [/mm] bei z von 0 bis h und bei [mm] \rho [/mm] hab ich geguckt, was ich wählen muss, sodass das richtige beim Volumen rauskam...
Da kam ich dann auf [mm] \bruch{h}{\wurzel{2}}
[/mm]
Aber bei [mm] z_{0} [/mm] kommt da dann nicht das richtige raus...
[mm] \bruch{1}{V}*\integral{dV*z}=\bruch{1}{V}*\integral_{0}^{\bruch{h}{\wurzel{2}}}{d\rho\integral_{0}^{2*\pi}{d\varphi\integral_{0}^{h}{dz*\rho*z}}}=\bruch{h}{2}
[/mm]
Sind die Grenzen bloß falsch oder ists komplett falsch? -_-
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Mo 14.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Grenzen von [mm] \rho [/mm] hängen doch von [mm] z=\pho^2 [/mm] ab (oder die von z von [mm] \rho)
[/mm]
Du musst dir unter Integralen auch was vorstellen. du schneidest doch dein Ding in Scheiben der Höhe dz,, dann addierst du die Scheiben auf. jede Scheibe hat doch nen anderen Radius, wenn das kein Zylinder ist.
Gruss leduart
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