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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:04 Di 23.11.2010 | | Autor: | Maiko |
Hallo liebe Gemeinde!
Ich habe eine kleine Frage bezüglich der mathematischen Funktion eines offenen Halbzylinders (Paraboloid) mit dem Radius [mm] r_1. [/mm] Die Gleichung lautet meiner Ansicht nach wie folgt:
z(x,y) = [mm] -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{r_1} \cdot x^2
[/mm]
(keine Abhängigkeit von y)
Nun soll ich berechnen, wie der Geschwindigkeitsverlauf einer in der konkaven Oberfläche rollenden Kugel (Masse m, Radius [mm] r_2) [/mm] aussieht. Die Kugel soll am obersten Punkt der Krümmung losgelassen werden (Anfangsgeschwindigkeit [mm] v_0 [/mm] = 0) und dann bis zum Umkehrpunkt auf der anderen Seite rollen. Weitere Vorgänge werden nicht betrachtet.
Ein einfaches Integrieren des Weges (Funktion über Ort) führt ja hier leider nicht zum Ziel. Könntet ihr mir hier etwas helfen oder auch einen hilfreichen Link senden? Sicher ist so eine Fragestellung schon aufgetaucht.
Vielen lieben Dank
Maiko
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Hallo Maiko,
das klingt nicht nach einer sinnvollen Aufgabenstellung. Es geht doch ziemlich sicher um ein abgeschnittenes Rotationsparaboloid, und das hat eine andere Gleichung.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 Di 23.11.2010 | | Autor: | Maiko |
Ausversehen doppelt gesendet! Diese Fragepost kann gelöscht werden!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Di 23.11.2010 | | Autor: | Maiko |
Die halbzylinderförmige Fläche sieht so aus:
![[]](/images/popup.gif) Link
Vereinfacht könnte man sich auch vorstellen, dass man eine Kreisbahn hat (konstanter Radius!!), von der aber nur der untere Halbkreis "abgefahren" wird.
Die Formel, die ich oben vorgeschlagen habe, stammt nicht aus der Aufgabenstellung. Die Formel entstammt meiner eigenen Erinnerung. Ich dachte, dass die Gleichung richtig wäre?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Di 23.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
kannst du die genaue Aufgabe posten.
Physikalisch kannst du aus der Höhe, also z und dem energiesatz jeweis die geschw. ausrechnen,für ein Wegzeit gesetz musst du die momentanen Drehmomente auf die Kugel in Abh von z,x finden, dabei brauchst du die Steigung der Kurve und behandelst es punktweise wie eine schiefe Ebene.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Di 23.11.2010 | | Autor: | Maiko |
Hallo leduart!
Die Fragestellung ist leider nicht schriftlich fixiert. Die Krümmung für den offenen Halbzylinder beträgt [mm] C=\frac{1}{R}=\frac{1}{12cm}. [/mm] Es ist also wirklich ein Zylinderradius gegeben, obwohl Al-Chw. in seiner Antwort schrieb, dass ein solcher parabolischer halber Zylinder keinen Radius hat.
Entspricht denn ein parabolischer Zylinder überhaupt einem "echten", offenen Halbzylinder?
Wie würdest du denn versuchen die Aufgabe am besten zu lösen? Gibt es eine Lösungsmöglichkeit, die vorzuziehen und praktikabel ist?
Die Kugel hat einen Radius von 1cm und wiegt 100g.
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> Hallo leduart!
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> Die Fragestellung ist leider nicht schriftlich fixiert. Die
> Krümmung für den offenen Halbzylinder beträgt
> [mm]C=\frac{1}{R}=\frac{1}{12cm}.[/mm] Es ist also wirklich ein
> Zylinderradius gegeben, obwohl Al-Chw. in seiner Antwort
> schrieb, dass ein solcher parabolischer halber Zylinder
> keinen Radius hat.
Eine parabolische Zylinderfläche (Leitkurve ist eine Parabel)
hat eben keinen bestimmten "Radius".
Es scheint aber, dass du allein das Wort "parabolisch" in
die Aufgabe hineingezaubert hast ...
> Entspricht denn ein parabolischer Zylinder überhaupt einem
> "echten", offenen Halbzylinder?
(mit "Halbzylinder" meinst du hier einen halbierten Kreis-Zylinder)
Nein, das sind unterschiedliche Flächen.
> Wie würdest du denn versuchen die Aufgabe am besten zu
> lösen? Gibt es eine Lösungsmöglichkeit, die vorzuziehen
> und praktikabel ist?
Wenn die Längsachse der Rinne horizontal liegt (normal
zur Gravitationskraft) und die Kugel am oberen Rinnenrand
mit [mm] \vec{v}=\vec{0} [/mm] losgelassen wird (Kugelmittelpunkt
auf der Höhe des Rinnenrandes), dann wird sich der
Kugelmittelpunkt auf einem zum Rinnen-Halbkreis konzen-
trischen Halbkreis bewegen, der in einer Normalebene
zur Längsachse liegt.
Damit hat man mindestens einmal ein ebenes Problem
und muss sich nicht mehr um die dritte Dimension kümmern.
> Die Kugel hat einen Radius von 1cm und wiegt 100g. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Was für ein Material könnte das wohl sein ? Schwerer als
jedes bekannte Metall ...
Ich nehme an, dass die Rotationseffekte berücksichtigt werden
sollen. Dann haben wir ja eine nette physikalisch-mathematische
Aufgabe vor uns.
Da der Kugelmittelpunkt M bei reibungsfreier (***) Bewegung
längs der halbkreisförmigen Bahn hin- und herpendeln wird,
rechnet man wohl am besten in Polarkoordinaten. Ein einziger
Winkel [mm] \varphi [/mm] mit [mm] 0\le\varphi\le\pi [/mm] beschreibt die jeweilige Position von
M vollständig.
Jetzt gilt es natürlich, zuerst die notwendigen Begriffe und
Formeln aus der Dynamik bereitzustellen. Ich würde es über
die Energie versuchen:
Gesamtenergie gleich potentielle Energie plus kinetische
Energie (der reinen translatorischen Bewegung) plus Rotations-
energie. Aus der Bedingung, dass die Gesamtenergie konstant
sein muss, wird sich dann eine Differenzialgleichung für [mm] \varphi(t)
[/mm]
ergeben.
LG Al-Chwarizmi
(***) Man darf sich allerdings noch fragen, wie die Kugel auf
die ausgefallene Idee kommen soll, sich in Drehung zu versetzen,
wenn keinerlei Reibung vorliegt ! 
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> Hallo liebe Gemeinde!
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> Ich habe eine kleine Frage bezüglich der mathematischen
> Funktion eines offenen Halbzylinders (Paraboloid) mit dem
> Radius [mm]r_1.[/mm] Die Gleichung lautet meiner Ansicht nach wie
> folgt:
>
> z(x,y) = [mm]-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{r_1} \cdot x^2[/mm]
> (keine
> Abhängigkeit von y)
>
> Nun soll ich berechnen, wie der Geschwindigkeitsverlauf
> einer in der konkaven Oberfläche rollenden Kugel (Masse m,
> Radius [mm]r_2)[/mm] aussieht. Die Kugel soll am obersten Punkt der
> Krümmung losgelassen werden (Anfangsgeschwindigkeit [mm]v_0[/mm] =
> 0) und dann bis zum Umkehrpunkt auf der anderen Seite
> rollen. Weitere Vorgänge werden nicht betrachtet.
>
> Ein einfaches Integrieren des Weges (Funktion über Ort)
> führt ja hier leider nicht zum Ziel. Könntet ihr mir hier
> etwas helfen oder auch einen hilfreichen Link senden?
> Sicher ist so eine Fragestellung schon aufgetaucht.
>
> Vielen lieben Dank
> Maiko
Hallo Maiko,
dem Bildchen entsprechend hast du es offenbar mit einem
nach oben geöffneten parabolischen Zylinder P zu tun, ähnlich
einer Halfpipe (aber ohne den fast flachen Grund).
Eine mögliche Gleichung für eine solche Fläche wäre
$\ [mm] P:\quad [/mm] z(x,y)\ =\ [mm] k*x^2$ [/mm] $\ (k>0)$
Einen "Radius" hat eine solche Zylinderfläche nicht.
Lässt man nun in dieser "Halfpipe" eine Kugel mit einem
Radius [mm] r_2 [/mm] und einer Masse m rollen, so würde sich ihr
Mittelpunkt auf einer Art "Parallelfläche" zu P im Abstand
[mm] r_2 [/mm] bewegen.
Wenn man das Ganze physikalisch korrekt behandeln
möchte (inkl. Betrachtung von Trägheitsmoment und
Rotationsenergie der Kugel) , so könnte dies sich zu
einer recht "nahrhaften" Aufgabe auswachsen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Di 23.11.2010 | | Autor: | Maiko |
Hallo Al-Chwarizmi!
Vielen Dank für deine Antwort. Für die Aufgabe ist die Krümmung für den offenen Halbzylinder gegeben. Diese beträgt [mm] C=\frac{1}{R}=\frac{1}{12cm}. [/mm] Es ist also wirklich ein Zylinderradius gegeben. Wieso meinst du denn, dass kein Radius gegeben sein dürfte? Ich muss dazusagen, dass ich das vorhin gepostete Bildchen selbst ausgewählt habe. Das war nicht zur Aufgabenstellung gegeben. Ich dachte nur, dass das Bild genau einem offenen Halbzylinder entspricht?!
Wie würdest du denn versuchen die Aufgabe am besten zu lösen? leduart hatte ja eine etwas andere Herangehensweise beschrieben, als du es getan hast.
Die Kugel hat einen Radius von 1cm und wiegt 100g.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Di 23.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein Halbzylinder hat nirgends ne parabel, eine parabel hat in jedem Punkt eine andere krümmung.
Wenn du die Aufgabe nicht schriftlich hast woher dann die Parabel?
nimm mal einfach nen Kreis. am besten mit dem Winkel parametrisieren.
dann kansst du in jedem Punkt das Drehmoment af die Kugel ausrechnen, von der man annehmen muss, dass sie ohne zu rutschen rollt.
damit stellst du die Bewegungsgleichung auf, oder versuchst das wenigstens erstmal. das ist im Wesentlichen ne Physik und keine mathe aufgabe. woher kommtsie denn?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Maiko |
Hallo leduart.
Ich nehme meine Aussage mit der Parabel zurück. Ich habe mich da vertan, da ich dachte, dass ein zylindrischer Paraboloid einem offenen Halbzylinder entspricht.
Ok, dann bleiben wir beim Halbzylinder bzw. bei einem normalen Kreis mit konstantem Radius r.
Mein Lösungsansatz wäre folgender:
E_pot = E_kin + E_rot
m [mm] \cdot [/mm] g [mm] \cdot [/mm] h = [mm] \frac{1}{2} \cdot [/mm] m [mm] \cdot v^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{2} \cdot [/mm] J [mm] \cdot \omega^2
[/mm]
Mit [mm] J=\frac{2}{5} \cdot [/mm] m [mm] \cdot r_{Kugel}^2 [/mm] und [mm] \omega [/mm] = [mm] \frac{v}{r_{Kugel}} [/mm] ergibt sich nach v umgestellt:
v = [mm] \wurzel{\frac{10}{7} \cdot g \cdot h}
[/mm]
Unter Vernachlässigung der Reibung und unter der Annahme, dass die Kugel rollt, müsste ich nun für jede beliebige Höhe h eine Geschwindigkeit berechnen können. Im Übrigen könnte ich diesen Lösungsansatz auch nutzen, um die Geschwindigkeit auf einer schiefen Ebene zu berechnen. Da für den Energieerhaltungssatz lediglich die Höhe relevant ist, habe ich hier auch nicht mit Winkeln gerechnet.
Die Höhe entspricht hier nun wie im Bild zu sehen der z-Koordinate und die Breite entspricht der x-Koordinate.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mit z=r [mm] \cdot sin(\alpha) [/mm] und x=r [mm] \cdot cos(\alpha) [/mm] kann ich nun die Höhe in Abhängigkeit von x ausdrücken:
h=z=r [mm] \cdot sin(cos^{-1}(\frac{x}{r}))
[/mm]
Würdest du da mitgehen leduart?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Mi 24.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
bisher ist das soweit fast richtig, bring die 2 verschiedenen R nicht durcheinander, das r bei [mm] z=rsin\phi [/mm] ist r= [mm] R_H-r_K [/mm] also der Radius auf dem der Schwerpunkt ist.
ich denk noch immer es ist einfacher in Polarkoordinaten zu rechnen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Do 25.11.2010 | | Autor: | Maiko |
Hallo leduart!
Nach der zuletzt angegebenen Formel v = [mm] \wurzel{\frac{10}{7} \cdot g \cdot h} [/mm] kann ich nun die Geschwindigkeit für die Situation ausrechnen, wenn die Kugel unten angekommen ist und die maximale Geschwindigkeit hat. Wie berechne ich denn aber die Geschwindigkeiten für die vorherigen Positionen der Kugel?
Ist folgendes korrekt?
Also wenn die Kugel beginnt 30 cm über der Erde im "Halbkreis" los zu rollen, wie hoch ist die Geschwindigkeit dann z.B. an der Stelle 20cm über dem Erdboden? Betrachte ich dann beim Energieerhaltungssatz nur diese Höhendifferenz, also: m [mm] \cdot [/mm] g [mm] \cdot [/mm] 10cm = Ekin + Erot ? Müsste ja so sein.
So ließe sich das ja eigentlich ganz einfach berechnen. Warum würdest du anders rechnen? Der Lösungsweg scheint doch sehr sinnvoll oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Do 25.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist richtig, nur musst du ja h berechnen, und ich find das einfacher direkt mit [mm] \phi [/mm] statt [mm] mitcos^{-1}(x/r) [/mm] aber das ist Geschmachssache.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Do 25.11.2010 | | Autor: | Maiko |
Hallo Leduart.
Ich habe das ganze jetzt mal berechnet für einen Zylinderradius von 30cm und einem Kugelradius von 1cm. Dabei kommt folgendes raus: Link
In einer Höhe von 30cm ist die Geschwindigkeit logischerweise 0 und in einer Höhe von 0cm maximal. Würdest du der Grafik prinzipiell zustimmen?
Jetzt hätte ich noch zwei Fragen:
1. Wenn die Kugel wieder hinaufrollt, verhält sich die Geschwindigkeit dann genauso wie dargestellt? Könnt also dasselbe Diagramm zur Beschreibung verwendet werden ?
2. Da ich mit der Formel gerechnet habe, die auch für die schiefe Ebene gilt, müsste dort ja der Verlauf genauso aussehen? ...obwohl die Kugel dort ja wirklich einen anderen Weg zurücklegt.
Vielen Dank!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Do 25.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich versteh nicht, was du damit meinst, wie auf der schiefen Ebene, da ist a=cons, also v(t)=a*t und [mm] v(h)=\wurzel{2g*(h-h_0)}
[/mm]
Die Höhenabhängigkeit ist dieselbe, nur ist v kleiner wegen der zusätzlichen Rotationsenergie also [mm] v=\wurzel{10/7*g*(h-h_0)}
[/mm]
deine Kurve sieht nicht wie ne wurzelfkt aus?
Sollst du wirklich nur v(h) bestimmen also v(z)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:41 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Maiko |
Hallo leduart.
Also ich habe gerade mal gegoogelt (siehe Link). Auf Seite 3 des PDFs ist der Lösungsweg für die Ermittlung der Geschwindigkeit einer Kugel am Ende einer schiefen Ebene angegeben. Die "Endformel" entspricht ebenfalls [mm] v=\wurzel{\frac{10}{7} \cdot g \cdot h}. [/mm]
Es tritt also keinerlei Unterschied zu meiner Rechnung für den Halbkreis auf. Was sagst du dazu?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 Fr 26.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast natürlich recht. Genau das sagt ja auch der Energiesatz. Nur v(t) bzw. s(t) hängen von der Form der Bahn ab. Die meisten Aufgaben verlangen das und nicht v(h) dehalb hab ich falsch reagiert. (und bei der schiefen Ebene die Rotation vergessen)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:14 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Maiko |
Hallo leduart.
Vielen Dank für deine Hinweise. Sehr interessant das ganze! Werde mal schauen, ob ich das ganze noch in Abhängigkeit von t ermitteln kann oder ob das dann wirklich so kompliziert wird wie von Al-Char. beschrieben. Nach deiner Aussage müsste ja vielleicht doch noch anders und weniger aufwändig funktionieren!
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Guten Abend Maiko und Mitdenkende,
ich habe mich heute früh nun einmal eingehender mit der
physikalischen Aufgabe beschäftigt, die mir interessant
scheint.
Zuerst zu meinen (vielleicht nicht ganz konventionellen)
Bezeichnungen:
H = Radius des Halfpipe-Zylinders
R = Kugelradius
T = H-R = Radius der Schwerpunktbahn der Kugel
m = Kugelmasse
[mm] \varphi [/mm] = Polarwinkel zur Beschreibung der Position des Kugelmittelpunkts [mm] (0\le\varphi\le\pi)
[/mm]
[mm] v_S [/mm] = $\ [mm] T*\dot{\varphi}$ [/mm] = Geschwindigkeit des Kugelmittelpunkts
[mm] \omega [/mm] = [mm] \frac{H}{R}*\dot{\varphi}$ [/mm] = Winkelgeschwindigkeit der Kugelrotation
Energiebeiträge:
$\ [mm] E_{pot}(\varphi)\ [/mm] =\ [mm] -m*g*T*sin(\varphi)$
[/mm]
$\ [mm] E_{transl.}(\varphi)\ [/mm] =\ [mm] \frac{m}{2}*{v_S}^2$
[/mm]
$\ [mm] E_{rot}(\varphi)\ [/mm] =\ [mm] \frac{m}{5}*R^2*\omega^2$
[/mm]
(letztere Formel habe ich durch Integration hergeleitet, man
kann dazu natürlich auch die pfannenfertige Formel für das
Trägheitsmoment der um einen Durchmesser rotierenden
Kugel benutzen)
Hauptidee ist nun, dass die Summe dieser Energien konstant
sein muss (Energiesatz), und zwar gleich Null (weil beim Start
bei t=0 alle Teilenergien verschwinden).
Die Durchführung der Idee, die ich hier nicht hinschreibe,
brachte mich dann zu einer Differentialgleichung der Form
[mm] $\dot{\varphi}(t)\ [/mm] =\ [mm] k*\sqrt{sin(\varphi(t))}$
[/mm]
wobei die früheren Konstanten R, H, g in das k hineingebuttert
sind.
Die Differentialgleichung in eine explizite Formel für [mm] \varphi(t)
[/mm]
aufzulösen, ist mir nicht gelungen (geht wohl gar nicht in
geschlossener Form). Das Umgekehrte ist jedoch möglich:
Man kann eine Formel für [mm] t(\varphi) [/mm] aufstellen, in welcher auf der
rechten Seite allerdings ein nicht elementar ausführbares
Integral auftritt.
Für eine numerische Lösung des Problems ("Fahrplan" der
rollenden Kugel) ist das aber doch schon ganz nett ...
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:50 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Vielen Dank für deinen Hinweis! Ich werde nochmal darüber nachdenken und mich nochmal dazu melden!!
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