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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 Sa 03.06.2006 | | Autor: | KaroB |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo,
Ich schreib eine Facharbeit über die Nichteuklidische Geometrie und ich habe einige Probleme mit dem Parallelenaxiom bzw. Parallelenpostulat. Also das Parallenelaxiom soll schon früh zu Diskussionene unter den Mathematikern gesorgt haben, aber wieso? Für mich gibt es da keinen ersichtlichen Grund, warum sich so viele Mathematiker damit beschäftigt haben.
Das Parallelenaxiom wird auch häufig mit dem Parallelenpostulat einfach so vertauscht, vor allem im Internet, obwohl die beiden Unterschiedliche Aussagen haben. Dreht sich das Parallelenproblem also jetzt um das Parallelenaxiom oder um das Parallelenpostulat? Wobei die nichteuklidischen Geometrien sich nur durch die verneinung des Parallelenaxioms von der euklidischen Unterscheiden.
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Hallo,
ich habe genau über dieses Thema mal eine längere Arbeit geschrieben, die du unter diesem ![[]](/images/popup.gif) Link hier findest. Ich denke, das wird deine Zweifel zerstreuen. Du findest dort auch Literaturangaben und interessante Java-Applets, damit du dich belesen und bereichern kannst.
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Sa 03.06.2006 | | Autor: | KaroB |
Danke für den Link! Der passt ziemlich gut zu meiner Facharbeit. Aber ist die Aussage: " Es gibt genau eine Parallele zu einer Geraden durch einen Punkt." wirklich äquivalent zum Parallelenpostulat? Weil das Parallelenpostulat sagt ja nur, dass es nicht mehrere Parallelen geben kann, weil sich die geraden ja immer schneiden wenn die winkel zusammen kleiner als 180° sind. Sonst würde die elliptische Geometrie ja auch dem Parallelenpostulat wiedersprechen und nicht nur dem Parallelenaxiom.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 Sa 03.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Karo
Den link hab ich nicht gelesen, aber zu deiner Unterscheidung "axiom" gegen "postulat" kann ich historisch was sagen:
lange Zeit, etwa von Beginn der mathe 1600 bis 1800 wusste man nicht ob man das "Parallelenaxiom" nicht doch vielleicht beweisen könnte, deshalb hat man es nicht Axiom, sondern schwächer Postulat genannt. Erst als die hyperbolische Geometrie "gefunden" wurde, wurde es endgültig als Axiom der euklidischen Geom. etabliert. Damit ist auch einleuchtend, warum sich davor so viele mathematiker damit beschäftigt haben. Nur rückblickend ist das kein wirkliches Problem, damals wars ein brennendes! (Heute ist das Wort Parallelenpostulat in der mathematik praktisch ausgestorben, hat also nur historischen Belang)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Sa 03.06.2006 | | Autor: | KaroB |
Danke für die Antwort
Aber ich dachte das Parallelenaxiom und das Parallelenpostulat haben verschiedene Aussagen und nicht dass das Parallelenpostulat einfach umbenannt wurde. Das Parallelenpostulat sagt ja dass es höchstens eine Parallele gibt und das Axiom sagt dass es genau eine gibt. Und in dem Link steht dass der Begriff "Parallelenaxiom" erst 1899 von Hilbert eingeführt wurde und dann auch mit der Bedeutung, dass es genau eine Parallele durch einen Punkt zu einer Gerade gibt.
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Hallo,
> Danke für die Antwort
> Aber ich dachte das Parallelenaxiom und das
> Parallelenpostulat haben verschiedene Aussagen und nicht
> dass das Parallelenpostulat einfach umbenannt wurde. Das
> Parallelenpostulat sagt ja dass es höchstens eine Parallele
> gibt und das Axiom sagt dass es genau eine gibt. Und in dem
> Link steht dass der Begriff "Parallelenaxiom" erst 1899 von
> Hilbert eingeführt wurde und dann auch mit der Bedeutung,
> dass es genau eine Parallele durch einen Punkt zu einer
> Gerade gibt.
nein, das steht da nicht. In dem Text werden die Begriffe synonym verwendet. Historisch hat Euklid zwischen den Begriffen Axiom und Postulat unterschieden. In der modernen Mathematik tut man das nicht mehr. Wenn du den Text verfolgst, dann sieht man schnell, dass Euklids Parallelenpostulat nicht mehr zu gebrauchen. Hilbert legte dann 1899 mit seinen Grundlagen der Geometrie eine neue euklidische Geometrie vor. Ein Unterscheidungsmerkmal ist z.B. die Formulierung dieses Axioms.
Viele Grüße
Daniel
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