Parallelität nachweisen < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:19 Fr 26.11.2021 | | Autor: | Brinki |
| Aufgabe | Die Animation unter ![[]](/images/popup.gif) https://www.geogebra.org/m/NSh93Fnx beschreibt die Konstruktion der Seitenmitten eines Dreiecks über den Inkreis. Die Richtigkeit wird über den Haken oben rechts begründet - leider mit einer Beweislücke: |
Für den Einsatz der Strahlensätze muss man die Parallelität der Geraden überprüfen. In einem Fall ist das klar, aber im zweiten Fall fehlt mir eine Begründung, warum die gestichtelte rote Linie parallel zur Dreiecksseite BC sein muss.
Ich bin für jeden Hinweis/Ansatz dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
Vielen Dank
Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Fr 26.11.2021 | | Autor: | fred97 |
> Die Animation unter https://www.geogebra.org/m/NSh93Fnx
> beschreibt die Konstruktion der Seitenmitten eines Dreiecks
> über den Inkreis. Die Richtigkeit wird über den Haken
> oben rechts begründet - leider mit einer Beweislücke:
> Für den Einsatz der Strahlensätze muss man die
> Parallelität der Geraden überprüfen. In einem Fall ist
> das klar, aber im zweiten Fall fehlt mir eine Begründung,
> warum die gestichtelte rote Linie parallel zur
> Dreiecksseite BC sein muss.
> Ich bin für jeden Hinweis/Ansatz dankbar.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
> Vielen Dank
> Andreas
>
Der Link funktioniert nicht !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:42 Fr 26.11.2021 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Der Link funktioniert nicht !
klares JEIN.
Die Verlinkung funktioniert nicht, die Adresse stimmt aber. Ich korrigiere das mal…
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 Fr 26.11.2021 | | Autor: | statler |
Hi!
Wenn ich die Parallelität voraussetze (wie im angegebenen Beweis) oder beweise (was erforderlich ist), dann ist doch alles klar, weil sich in einem Parallelogramm die Diagonalen gegenseitig halbieren.
Noch sehe ich leider keinen Ansatz.
Gruß Dieter
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Von A legt man zei Tangenten an einen Kreis mit Berührpunkten B und C. Zu BC zieht man eine beliebige Parallele, die die beiden Tangenten nochmals in D bzw. E schneidet.
Die Dreiecke ABM und ACM sind kongruent (eine gemeinsame Seite AM, gleiche Winkel bei A und rechte Winkel bei B und C). Damit ist |AB|=|AC|=x. Nach den Strahlensätzen ist dann auch |AD|=|AE|=x+y und somit |BD|=|CE|=y.
Diese letzte Beziehung lässt sich nun anwenden:
[Dateianhang nicht öffentlich]
CB habe ich verlängert, bis die beiden anderen Parallelen davon in G und H geschnitten werden.
Von C als Scheitelpunkt ausgehend ist dann |AF|=|EG| und
von B als Scheitelpunkt ausgehend |AD|=|HE|.
Geht man von A aus, so ist |AD|=|AF|. Daraus folgt mit den beiden ersten Gleichungen |EG|=|HE|. E liegt also in der Mitte von GH.
Da AG || JE ist, halbiert J auch HA (Strahlensatz mit Scheitel in H). Da AH || KE ist, halbiert K auch AG (Strahlensatz mit Scheitel in G).
Da J un K auf den Seitenhälften von AH bzw. AG liegen, ist JK || HG.
Da JK || HC ist, halbiert JK die Seite AC (Strahlensatz mit Scheitel in A) und wegen JK || BG ebenso AB.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:13 Sa 27.11.2021 | | Autor: | statler |
Hi,
diese Lösung zeigt ja anders als die unvollständige von GeoGebra zuerst über Längenbetrachtungen, daß J und K Seitenmitten sind und daß deswegen JK || BC ist. Kann man der Parallelität auch direkt, z. B. durch Winkelbetrachtungen beikommen?
Es ist sehr schade, daß die Dreiecksgeometrie in der Schule praktisch abgeschafft worden ist.
Gruß Dieter
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> Kann man der Parallelität auch direkt, z. B. durch Winkelbetrachtungen beikommen?
Nein.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn ich die Punkte D, E und F so auf dem Inkreis verschiebe (oder ggf. bis auf die Dreiecksseiten verschiebe), dass sie nicht mehr die Berührpunkte sind, aber die Geraden FE und DE zur den ursprünglichen parallel bleiben, und JK zunächst außer Acht lasse, bleiben sämtliche Winkel der Konstruktion erhalten. (vorher: grün, nachher: rot).
Das Parallelogramm AJEK hat aber andere Seitenlängen, die neue Gerade JK andere Winkel - verliert somit die Parallelität mit CB - und andere Schnittpunkte mit den Dreieckseiten, halbiert diese also nicht mehr.
Irgendwo werden auf jedenfall Seitenlängen benötigt, um die Parallelität zu zeigen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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