Parallelität von Geraden < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:21 Mo 07.05.2007 | | Autor: | matt57 |
| Aufgabe | Sei /A ein affiner Raum über einem Körper K
und seien a,b,c, affin unabhängige Punkte von /A.
Ferner seien p [mm] \in [/mm] der Geraden bc ohne {c} und q [mm] \in [/mm] der Geraden ac ohne {a}.
Zeigen Sie:
a) Je zwei der Geraden ab, ac, bc, schneiden sich genau in einem Punkt
b) p [mm] \not= [/mm] q
c) Es gibt eindeutig bestimmte [mm] \alpha ,\beta, \in [/mm] K \ {1} (ohne 1)
mit pb = [mm] \alpha [/mm] pc und qc= [mm] \beta [/mm] qa
d) Es gilt für die Geraden pq [mm] \parallel [/mm] ab, wenn [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta=1
[/mm]
e) Wenn [mm] \alpha ,\beta \not= [/mm] 1, dann schneiden sich die Geraden pq und ab in genau einem Punkt.
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Überlegungen:
Ich schätze, das hat alles etwas mit linearer Unabhängigkeit bzw. Abhängigkeit zu tun. Nur, wie schreibe ich das jeweils formalistisch hin?
a) Geradengleichungen aufstellen. Es folgt Koeffizienten alle = 0, somit {a}= ab [mm] \cap [/mm] ac.
Kann ich die Geraden auch als ac = ca schreiben? Denn dann wäre bei Gleichsetzung der Geradengleichung und mit Koeffizienten = 0 der jewilige Schnittpunkt der gemeinsame Punkt.
b) Falls p=q, dann würde folgen, dass p=q = c, was aber ausgeschlossen ist. Beide Punkte p und q müssten ja wenn sie gleich sind, auf den Geraden bc und ac liegen,
c) Da p [mm] \in [/mm] bc und b [mm] \in [/mm] bc gibt es ein [mm] \alpha [/mm] mit dem gilt [mm] \alpha [/mm] pc-pb = 0, analog für qc...
Weiterhin: Wären [mm] \alpha,\beta [/mm] = 1, dann gilt pb=pc und somit b=c, was aber ausgeschlossen ist, denn a,b,c sind affin unabhängig.
Würde das genügen?
d) Habe versucht, das über [mm] \bruch{x}{y} [/mm] = [mm] \alpha [/mm] ,
[mm] \bruch{y}{x} [/mm] = [mm] \beta [/mm] anzugehen, aus den Geradengleichungen von
pc= p+y*bp
pc= p+x*bc
[mm] \gdw [/mm] bp= [mm] \bruch{x}{y} [/mm] *bc, [mm] bc=\bruch{y}{x} [/mm] *bp
Produkt der Brüche ist ja = 1
komme aber nicht weiter
e) Ergibt sich vermutlich aus d)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Fr 11.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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