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| Aufgabe | | Gegeben ist ein Raumviereck durch die Eckpunkte A(4|0|0) , B(4|3|1), C(0|3|4), D(4|0|3). Zeichnen Sie ein Schrägbild des Vierecks. Zeigen Sie , dass die Seitenmittelpunkte des Vierecks ABCD ein Parallelogramm bilden. |
Hallo , also die Zeichnung und die anderen Sachen sind hier :
http://s14.directupload.net/images/120912/gleee63q.jpg
Also hab jetzt das Viereck gezeichnet und ich verstehe auch die Aufgabe.
Ich habe ja die Punkte :
A(4|0|0) , B(4|3|1), C(0|3|4), D(4|0|3)
Jetzt habe ich [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 1}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{BC} [/mm] = [mm] \vektor{-4 \\ 0 \\ 3}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{CD} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -3 \\ -1}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AD} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 3}
[/mm]
Sind die Punkte erstmal richtig ?
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Hallo pc_doctor,
> Gegeben ist ein Raumviereck durch die Eckpunkte A(4|0|0) ,
> B(4|3|1), C(0|3|4), D(4|0|3). Zeichnen Sie ein Schrägbild
> des Vierecks. Zeigen Sie , dass die Seitenmittelpunkte des
> Vierecks ABCD ein Parallelogramm bilden.
> Hallo , also die Zeichnung und die anderen Sachen sind
> hier :
>
> http://s14.directupload.net/images/120912/gleee63q.jpg
>
> Also hab jetzt das Viereck gezeichnet und ich verstehe auch
> die Aufgabe.
>
> Ich habe ja die Punkte :
>
> A(4|0|0) , B(4|3|1), C(0|3|4), D(4|0|3)
>
> Jetzt habe ich [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 3 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] = [mm]\vektor{-4 \\ 0 \\ 3}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{CD}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ -3 \\ -1}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AD}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 3}[/mm]
>
> Sind die Punkte erstmal richtig ?
Ja.
Gruss
MathePower
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Okay , alles klar , vielen Dank erstmal.
So , jetzt will ich die Mittelpunkte von
$ [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{0 \\ 3 \\ 1} [/mm] $
$ [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{-4 \\ 0 \\ 3} [/mm] $
$ [mm] \overrightarrow{CD} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{4 \\ -3 \\ -1} [/mm] $
$ [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 3} [/mm] $
berechnen.
Wie auch aus der Skizze zu entnehmen ist ( http://s14.directupload.net/images/120912/gleee63q.jpg ) , bezeichne ich jetzt den ersten Mittelpunkt [mm] M_1 [/mm] und berechne ihn aus [mm] \bruch{\overrightarrow{AD}}{2} [/mm] , also [mm] \bruch{\overrightarrow{AD}}{2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1,5}
[/mm]
Folglich gilt : [mm] M_1 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1,5}
[/mm]
Weiter :
[mm] M_2 [/mm] = [mm] \bruch{\overrightarrow{CD}}{2}
[/mm]
[mm] M_2 [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -1,5 \\ -0,5} [/mm]
[mm] M_3 [/mm] = [mm] \bruch{\overrightarrow{BC}}{2}
[/mm]
[mm] M_3 [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ 1,5} [/mm]
[mm] M_4 [/mm] = [mm] \bruch{\overrightarrow{AB}}{2}
[/mm]
[mm] M_4 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1,5 \\ 0,5}
[/mm]
So , hier nochmal die Skizze : http://s14.directupload.net/images/120912/gleee63q.jpg
Wenn ich jetzt die ganzen Mittelpunkte habe , muss ich doch [mm] M_2 [/mm] - [mm] M_1 [/mm] berechnen und analog [mm] M_3 [/mm] - [mm] M_4.
[/mm]
Also : [mm] M_2 [/mm] - [mm] M_1 [/mm] =
[mm] \vektor{2 \\ -1,5 \\ -0,5} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1,5} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -1,5 \\ -2}
[/mm]
[mm] M_3 [/mm] - [mm] M_4 [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 0 \\ 1,5} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 1,5 \\ 0,5} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ -1,5 \\ 1}
[/mm]
Weiter (abgekürzt):
[mm] M_1 [/mm] - [mm] M_4 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -1,5 \\ 1}
[/mm]
[mm] M_2 [/mm] - [mm] M_3 [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -1,5 \\ -2}
[/mm]
Ist das soweit richtig ?
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Hallo pc_doctor,
> Okay , alles klar , vielen Dank erstmal.
>
> So , jetzt will ich die Mittelpunkte von
> [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 3 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] = [mm]\vektor{-4 \\ 0 \\ 3}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{CD}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ -3 \\ -1}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AD}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 3}[/mm]
>
> berechnen.
>
> Wie auch aus der Skizze zu entnehmen ist (
> http://s14.directupload.net/images/120912/gleee63q.jpg ) ,
> bezeichne ich jetzt den ersten Mittelpunkt [mm]M_1[/mm] und berechne
> ihn aus [mm]\bruch{\overrightarrow{AD}}{2}[/mm] , also
> [mm]\bruch{\overrightarrow{AD}}{2}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1,5}[/mm]
>
> Folglich gilt : [mm]M_1[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1,5}[/mm]
>
Das ist nicht der Mittelpunkt von A und D.
> Weiter :
>
> [mm]M_2[/mm] = [mm]\bruch{\overrightarrow{CD}}{2}[/mm]
>
> [mm]M_2[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ -1,5 \\ -0,5}[/mm]
>
> [mm]M_3[/mm] = [mm]\bruch{\overrightarrow{BC}}{2}[/mm]
>
> [mm]M_3[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ 0 \\ 1,5}[/mm]
>
> [mm]M_4[/mm] = [mm]\bruch{\overrightarrow{AB}}{2}[/mm]
>
> [mm]M_4[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1,5 \\ 0,5}[/mm]
>
> So , hier nochmal die Skizze :
> http://s14.directupload.net/images/120912/gleee63q.jpg
>
> Wenn ich jetzt die ganzen Mittelpunkte habe , muss ich doch
> [mm]M_2[/mm] - [mm]M_1[/mm] berechnen und analog [mm]M_3[/mm] - [mm]M_4.[/mm]
>
> Also : [mm]M_2[/mm] - [mm]M_1[/mm] =
> [mm]\vektor{2 \\ -1,5 \\ -0,5}[/mm] - [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1,5}[/mm] =
> [mm]\vektor{2 \\ -1,5 \\ -2}[/mm]
>
>
> [mm]M_3[/mm] - [mm]M_4[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ 0 \\ 1,5}[/mm] - [mm]\vektor{0 \\ 1,5 \\ 0,5}[/mm]
> = [mm]\vektor{-2 \\ -1,5 \\ 1}[/mm]
>
> Weiter (abgekürzt):
>
> [mm]M_1[/mm] - [mm]M_4[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ -1,5 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]M_2[/mm] - [mm]M_3[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ -1,5 \\ -2}[/mm]
>
>
> Ist das soweit richtig ?
Gruss
MathePower
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Ich habe doch für [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 3}
[/mm]
Und wenn ich das ganze durch 2 teile , bekomme ich doch :
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1,5}
[/mm]
Eigentlich heißt es ja für den Mittelpunkt :
[mm] \bruch{x}{2} [/mm] , [mm] \bruch{y}{2} [/mm] , [mm] \bruch{z}{2}
[/mm]
Warum ist das falsch ?
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Hallo pc_doctor.
> Ich habe doch für [mm]\overrightarrow{AD}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 3}[/mm]
>
> Und wenn ich das ganze durch 2 teile , bekomme ich doch :
>
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1,5}[/mm]
>
> Eigentlich heißt es ja für den Mittelpunkt :
>
> [mm]\bruch{x}{2}[/mm] , [mm]\bruch{y}{2}[/mm] , [mm]\bruch{z}{2}[/mm]
>
Das ist nur richtig, wenn Du vom Ursprung ausgehst.
> Warum ist das falsch ?
Hier sind die Punkte A,B,C,D verschieden vom Ursprung.
Demnach ergibt sich der Mittelpunkt von A und D zu:
[mm]\overrightarrow{OA}+\bruch{1}{2}*\overrightarrow{AD}[/mm]
, wobei [mm]\overrightarrow{OA}[/mm] der Ortsvektor zum Punkt A ist.
Gruss
MathePower
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Achsoo , das wusste ich garnicht.
Vielen Dank.
Also lautet [mm] M_1 [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 3}
[/mm]
=
[mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 3} [/mm] ?
Kurz noch ne Frage :
Bei den meisten Sachaufgaben , die so gestellt sind , wie hier , muss man , wenn man den Mittelpunkt bestimmen will , sowas hier anwenden :
$ [mm] \overrightarrow{OA}+\bruch{1}{2}\cdot{}\overrightarrow{AD} [/mm] $ ?
Also berechnet man so immer den Mittelpunkt einer [B]STRECKE[/B] ?
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Hallo pc_doctor,
> Achsoo , das wusste ich garnicht.
>
> Vielen Dank.
>
> Also lautet [mm]M_1[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 3}[/mm]
>
> =
> [mm]\vektor{4 \\ 0 \\ 3}[/mm] ?
>
Es muss doch hier lauten:
[mm]M_1 = \vektor{4 \\ 0 \\ 0} + \red{\bruch{1}{2}}\vektor{0 \\ 0 \\ 3}[/mm]
> Kurz noch ne Frage :
>
> Bei den meisten Sachaufgaben , die so gestellt sind , wie
> hier , muss man , wenn man den Mittelpunkt bestimmen will ,
> sowas hier anwenden :
>
> [mm]\overrightarrow{OA}+\bruch{1}{2}\cdot{}\overrightarrow{AD}[/mm]
> ?
>
Ja, sofern der Punkt A nicht der Ursprung ist.
Gruss
MathePower
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Oh ja tut mir Leid , hab den Bruch vergessen.
Nur nochmal , damit ich es richtig verstehe :
Wenn ich zum Beispiel diese Punkte habe :
[mm] \overrightarrow{A} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
und
[mm] \overrightarrow{B} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ 4 \\ 5}
[/mm]
Und ejtzt bilde ich die Strecke [mm] \overrightarrow{AB} [/mm]
=> [mm] \overrightarrow{B} [/mm] - [mm] \overrightarrow{A} [/mm]
=> [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ 4 \\ 5}
[/mm]
Und jetzt , wenn ich den Mittelpunkt bilde , benutze ich
[mm] \bruch{x}{2} [/mm] ; [mm] \bruch{y}{2} [/mm] ; [mm] \bruch{z}{2}
[/mm]
Also : Mittelpunkt :
[mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 2,5}
[/mm]
Hier ist ja [mm] \overrightarrow{A} [/mm] der Ursprung und auch der Nullvektor , ist meine Vorgehensweise richtig ?
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Hallo pc_doctor,
> Oh ja tut mir Leid , hab den Bruch vergessen.
>
>
> Nur nochmal , damit ich es richtig verstehe :
>
> Wenn ich zum Beispiel diese Punkte habe :
>
> [mm]\overrightarrow{A}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\overrightarrow{B}[/mm] = [mm]\vektor{6 \\ 4 \\ 5}[/mm]
>
> Und ejtzt bilde ich die Strecke [mm]\overrightarrow{AB}[/mm]
>
> => [mm]\overrightarrow{B}[/mm] - [mm]\overrightarrow{A}[/mm]
>
> => [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] = [mm]\vektor{6 \\ 4 \\ 5}[/mm]
>
> Und jetzt , wenn ich den Mittelpunkt bilde , benutze ich
>
> [mm]\bruch{x}{2}[/mm] ; [mm]\bruch{y}{2}[/mm] ; [mm]\bruch{z}{2}[/mm]
>
> Also : Mittelpunkt :
> [mm]\vektor{3 \\ 2 \\ 2,5}[/mm]
>
> Hier ist ja [mm]\overrightarrow{A}[/mm] der Ursprung und auch der
> Nullvektor , ist meine Vorgehensweise richtig ?
>
Perfekt.
Gruss
MathePower
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Alles klar vielen Dank , ich ahbe jetzt alle Mittelpunkte berechnet und auch
[mm] M_1 [/mm] - [mm] M_2 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] - [mm] M_3 [/mm] und [mm] M_3 [/mm] - [mm] M_4 [/mm] und [mm] M_1 [/mm] - [mm] M_4 [/mm] berechnet und habe das hier raus :
[mm] \vektor{-2 \\ 1,5 \\ 2} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ -1,5 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{-2 \\ 1,5 \\ 2} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ -1,5 \\ 1} [/mm]
Das heißt jetzt für mich also , dass alle Seiten parallel bzw. kollinear sind , da das "r" immer den gleichen Wert hat , stimmt das ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 Mi 12.09.2012 | | Autor: | chrisno |
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> Das heißt jetzt für mich also , dass alle Seiten parallel
> bzw. kollinear sind , da das "r" immer den gleichen Wert
> hat , stimmt das ?
>
Du meinst sicher das Richtige. Die Seiten sind paarweise parallel. Alle sind nicht parallel zueinander.
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Ja , also damit meinte ich quasi , dass die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander ist und somit habe ich bewiesen , dass die Mittelpunkte des eingezeichneten Vierecks ein Parallelogramm bilden , richtig ?
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Hallo pc_doctor,
> Ja , also damit meinte ich quasi , dass die
> gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander ist und
> somit habe ich bewiesen , dass die Mittelpunkte des
> eingezeichneten Vierecks ein Parallelogramm bilden ,
> richtig ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 Mi 12.09.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar , vielen vielen Dank an euch beide !
Schönen Abend noch :)
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