Parameter - Nullstellen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Zirbe |
| Aufgabe | | Die folgende Funktion besitzt die angegebene Nullstelle. Bestimmen Sie alle weiteren Nullstellen in Abhängigkeit von [mm] a\in \IR [/mm] und geben Sie die Vielfachheit der Nullstellen an. |
fa(x)=0
[mm] 2x^{3}+(a-8)x+2a=0
[/mm]
angegebene Nullstelle: [mm] x_{1}= [/mm] -2
Mit Polynomdivision kommt dann raus: [mm] 2x^{2} [/mm] -4x+a
Das setze ich wieder gleich 0 und stelle die Diskriminante auf:
D= 16-8a
So, jetzt mache ich die Fälle durch, mit D=0
Es kommt dann a=2 raus und für a=2:
[mm] x_{1}= [/mm] -2 und [mm] x_{2/3}=1 [/mm] (doppelte NST)
Für D<0 kommt dann raus:
a>2 ---> einzige Lösung: [mm] x_{1} [/mm] =-2
Für D>0 kommt raus:
a<2 ---> [mm] x_{1} [/mm] =-2, [mm] x_{2/3}= \bruch{4\pm\wurzel{16-8a}}{4}
[/mm]
So, dann stelle ich 2 Gleichungen auf:
1.) [mm] \bruch{4+\wurzel{16-8a}}{4} [/mm] = -2, wo dann raus kommt:
[mm] \wurzel{16-8a} [/mm] = -12 ---> keine Lösung
2.) [mm] \bruch{4-\wurzel{16-8a}}{4} [/mm] = -2, wo dann rauskommt:
a= -16
und jetzt kommt das, was ich nicht verstehe:
Wieso ist hier dann die Lösung:
[mm] x_{1/2}= [/mm] -2 (doppelte) <----- wieso doppelt?
[mm] x_{3} [/mm] =4 wie komme ich auf 4?
Vielen Dank schon mal für eure Antworten.
Lg
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Hallo Zirbe,
> Die folgende Funktion besitzt die angegebene Nullstelle.
> Bestimmen Sie alle weiteren Nullstellen in Abhängigkeit von
> [mm]a\in \IR[/mm] und geben Sie die Vielfachheit der Nullstellen
> an.
> fa(x)=0
> [mm]2x^{3}+(a-8)x+2a=0[/mm]
> angegebene Nullstelle: [mm]x_{1}=[/mm] -2
> Mit Polynomdivision kommt dann raus: [mm]2x^{2}[/mm] -4x+a
>
> Das setze ich wieder gleich 0 und stelle die Diskriminante
> auf:
> D= 16-8a
> So, jetzt mache ich die Fälle durch, mit D=0
> Es kommt dann a=2 raus und für a=2:
> [mm]x_{1}=[/mm] -2 und [mm]x_{2/3}=1[/mm] (doppelte NST)
>
> Für D<0 kommt dann raus:
> a>2 ---> einzige Lösung: [mm]x_{1}[/mm] =-2
Für D<0 gibt es doch keine weiteren Lösung in [mm]\IR[/mm]
>
> Für D>0 kommt raus:
> a<2 ---> [mm]x_{1}[/mm] =-2, [mm]x_{2/3}= \bruch{4\pm\wurzel{16-8a}}{4}[/mm]
>
> So, dann stelle ich 2 Gleichungen auf:
> 1.) [mm]\bruch{4+\wurzel{16-8a}}{4}[/mm] = -2, wo dann raus kommt:
> [mm]\wurzel{16-8a}[/mm] = -12 ---> keine Lösung
>
> 2.) [mm]\bruch{4-\wurzel{16-8a}}{4}[/mm] = -2, wo dann rauskommt:
> a= -16
> und jetzt kommt das, was ich nicht verstehe:
> Wieso ist hier dann die Lösung:
> [mm]x_{1/2}=[/mm] -2 (doppelte) <----- wieso doppelt?
Erstmal ist die Nullstelle x=-2 des Ausgangspolynoms vorgegeben,
zweitens erhältst Du für a=-16 dieselbe Nullstelle, des durch Polynomdivision
bestimmten Polynoms 2. Grades. Somit ist die Nullstelle x=-2 doppelt.
> [mm]x_{3}[/mm] =4 wie komme ich auf 4?
Setze a=-16 in die verbliebene Formel ein:
[mm]\bruch{4+\wurzel{16-8a}}{4}[/mm]
>
> Vielen Dank schon mal für eure Antworten.
> Lg
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Zirbe |
Erstmal ist die Nullstelle x=-2 des Ausgangspolynoms vorgegeben,
zweitens erhältst Du für a=-16 dieselbe Nullstelle, des durch Polynomdivision
bestimmten Polynoms 2. Grades. Somit ist die Nullstelle x=-2 doppelt.
Das verstehe ich noch nicht so ganz. Heißt dass, das wenn ich -16 in diese Gleichung einsetze: [mm] 2x^{3}+(a-8)x [/mm] +2a=0, dass ich dann auf die gleiche Nullstelle komme, wie wenn ich mit (x-2) geteilt nehme in der Polynomdivision?
Lg
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Hallo Zirbe,
> Erstmal ist die Nullstelle x=-2 des Ausgangspolynoms
> vorgegeben,
> zweitens erhältst Du für a=-16 dieselbe Nullstelle, des
> durch Polynomdivision
> bestimmten Polynoms 2. Grades. Somit ist die Nullstelle
> x=-2 doppelt.
>
> Das verstehe ich noch nicht so ganz. Heißt dass, das wenn
> ich -16 in diese Gleichung einsetze: [mm]2x^{3}+(a-8)x[/mm] +2a=0,
> dass ich dann auf die gleiche Nullstelle komme, wie wenn
> ich mit (x-2) geteilt nehme in der Polynomdivision?
Das soll doch heißen [mm]x\red{+}2[/mm]
Ja, so isses.
Für das Polynom
[mm]2x^{3}+(a-8)*x+2*a[/mm]
gilt:
[mm]2x^{3}+(a-8)*x+2*a=\left(x+2\right)*\left(2x^{2}-4*x+a\right)[/mm]
Nun haben die beiden Polynome
[mm]2x^{3}+(a-8)*x+2*a[/mm]
[mm]2x^{2}-4*x+*a[/mm]
für a=-16 dieselbe Nullstelle x=-2,
daher ist diese Nullstelle doppelt.
>
> Lg
Gruß
MathePower
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