Parameterabh. Integral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Sa 02.08.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Es sei [mm] F(t)=\integral_{1}^{t}{\bruch{e^{-tx}}{x} dx} [/mm] für t [mm] \ge [/mm] 1. Zeige, dass F auf [1; [mm] \infty [/mm] [ ein Maximum besitzt und bestimme die zugehörige Maximalstelle. |
Hallo,
F'(t)= [mm] \bruch{e^{-t^2}}{t}+ \integral_{1}^{t}{-e^{-tx} dx}
[/mm]
Stimmt das so? Wie macht man dann weiter?
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> Es sei [mm]F(t)=\integral_{1}^{t}{\bruch{e^{-tx}}{x} dx}[/mm] für t
> [mm]\ge[/mm] 1. Zeige, dass F auf [1; [mm]\infty[/mm] [ ein Maximum besitzt
> und bestimme die zugehörige Maximalstelle.
> Hallo,
>
> F'(t)= [mm]\bruch{e^{-t^2}}{t}+ \integral_{1}^{t}{-e^{-tx} dx}[/mm]
Wie kommst du denn zum zweiten Summanden (mit dem Integral)
in der Ableitung F'(t) ?
Sorry, da hatte ich zuerst ein Durcheinander mit den Variablen ...
Zur Bestimmung der Maximalstelle muss man dann natürlich
eine gewisse Gleichung lösen und außerdem so etwas wie eine
(minimale) Kurvendiskussion für die Funktion F durchführen.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Sa 02.08.2014 | | Autor: | rollroll |
Die Formel lautet ja F'(t)=f (v(t), t)*v'(t)-f (u (t), t)*u'(t)+ [mm] \integral_{v (t)}^{u(t)}{ \bruch{\partial f}{\partial t} (x, t) dx}
[/mm]
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Hallo rollroll,
> Die Formel lautet ja F'(t)=f (v(t), t)*v'(t)-f (u (t),
> t)*u'(t)+ [mm]\integral_{v (t)}^{u(t)}{ \bruch{\partial f}{\partial t} (x, t) dx}[/mm]
>
Richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Sa 02.08.2014 | | Autor: | rollroll |
Die habe ich doch oben angewandt.
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Hallo rollroll,
> Die habe ich doch oben angewandt.
Ja.
Nun mußt Du noch das Integral auswerten
und F'(t) Null setzen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Sa 02.08.2014 | | Autor: | rollroll |
Dann erhalte ich 2/t exp [mm] (-t^2)-1/t [/mm] exp (-t) für F'
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:55 So 03.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Dann erhalte ich 2/t exp [mm](-t^2)-1/t[/mm] exp (-t) für F'
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig!
Jetzt Null setzen und die beiden Lösungen für t bestimmen - nur eine davon liegt im geforderten Bereich [mm] ($t\ge1$).
[/mm]
Außerdem benötigst du noch die zweite Ableitung von F(t) um zu zeigen, dass es sich um ein Maximum handelt.
Gruß RMix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 So 03.08.2014 | | Autor: | Calculu |
Hallo.
Ich hab eine Frage zu dieser Aufgabe. Mir ist diese Formel nicht bekannt. Woher kommt sie?
Kann ich nicht einfach meine Ableitung unter das Integral ziehen, weil [mm] \bruch{e^{-tx}}{x} [/mm] stetig ist und ich über ein abgeschlossenes Intervall integriere?
Wenn ich die Aufgabe so rechne komme ich auf ein Maximum bei 1.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 So 03.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo.
> Ich hab eine Frage zu dieser Aufgabe. Mir ist diese Formel
> nicht bekannt. Woher kommt sie?
http://de.wikipedia.org/wiki/Parameterintegral
> Kann ich nicht einfach meine Ableitung unter das Integral
> ziehen, weil [mm]\bruch{e^{-tx}}{x}[/mm] stetig ist und ich über
> ein abgeschlossenes Intervall integriere?
Nein, weil in
$ [mm] F(t)=\integral_{1}^{t}{\bruch{e^{-tx}}{x} dx} [/mm] $
die Variable t auch noch in der oberen Integrationsgrenze vorkommt.
FRED
> Wenn ich die Aufgabe so rechne komme ich auf ein Maximum
> bei 1.
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Zum Ableiten braucht man keine komplizierten Regeln. Wenn man [mm]tx = u[/mm] substituiert, bekommt man
[mm]F(t) = \int_t^{t^2} \frac{\operatorname{e}^{-u}}{u} ~ \mathrm{d}u = \int_1^{t^2} \frac{\operatorname{e}^{-u}}{u} ~ \mathrm{d}u \ - \ \int_1^t \frac{\operatorname{e}^{-u}}{u} ~ \mathrm{d}u \, , \ \ t>0[/mm]
Und jetzt geht es allein mit dem Hauptsatz und der gewöhnlichen Kettenregel.
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