Parameteraufgabe Integralrech. < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist fa(x) = [mm] x^{3} [/mm] - [mm] a^{2}*x, [/mm] a>0.
Wie muss a gewählt werdem, damit die beiden Flächen , welche von fa und der x-Achse eingeschlossen werden , jeweils den Inhalt 4 erhalten? |
Hallo Leute!
Leider bin ich bei dieser Aufgabe gerade sehr hilflos.
Meine Ideen waren folgende :
1. Es muss 3 Nullstellen geben
2. Eine der Nullstellen ist bei x=0
Die Lösung habe ich im Prinzip durch "ausprobieren" herausgefunden, und zwar wenn a=2 ist. Leider ist das mathematisch gesehen nicht viel Wert ... es muss ja einen manuellen Weg geben um auf die Lösung zu kommen.
Ich denke jetzt nochmal etwas darüber nach, aber trotzdem würde ich mich über Tipps sehr freuen!
Vielen Dank im Voraus und noch schönes Wochenende!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Sa 08.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Eisquatsch,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Für die Nullstellenbestimmung musst Du hier ausklammern und die 3. binomische Formel anwenden:
$$0 \ = \ [mm] x^3-a^2*x [/mm] \ = \ [mm] x*\left(x^2-a^2\right) [/mm] \ = \ x*(x+a)*(x-a)$$
Wie lauten also die 3 Nullstellen?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für die rasche Antwort :D !
Ich würde sagen ....
x1=0
x2=a
x3=-a
Aber einen konkreten Wert für a habe ich damit immernoch nicht rausgefunden ... oder habe ich etwas falsch verstanden ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Sa 08.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Eisquatsch!
> x1=0
> x2=a
> x3=-a
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig.
> Aber einen konkreten Wert für a habe ich damit immernoch
> nicht rausgefunden ... oder habe ich etwas falsch verstanden ?
Nöö, aber den Wert für $a_$ sollst Du ja nun berechnen durch folgende Integralgleichung:
[mm] $$\integral_0^a{f_a(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_0^a{x^3-a^2*x^2 \ dx} [/mm] \ = \ ... \ = \ 4$$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 Sa 08.09.2007 | | Autor: | Eisquatsch |
Aaaah, ok ich glaube ich kann das mittlerweile besser nachvollziehen.
Ich muss jetzt los, ich melde mich ab morgen Mittag nochmal :D Vielen Dank für die nochmalige Antwort und vielleicht spricht man sich ja dann.
Gruß
Eisquatsch
|
|
|
| |
|
Hallo!
So ich hab mich jetzt nochmal drangesetzt, bin aber noch nicht ganz auf die Lösung gekommen. Mir fehlt noch ein wichtiger Schritt (der mir auch zur Lösung einer anderen Aufgabe noch fehlt) und zwar folgender :
[mm] \integral_{0}^{a}{f(x) dx}= \integral_{0}^{a}{x^3-a^2*x) dx} [/mm] = [mm] [\bruch{1}{4}x^4-\bruch{a^2}{2}x] [/mm] =4
So!, aber wie kommt man den jetzt auf das blöde a :/ Find die Aufgabe sehr ärgerlich, weil ich genau merke, das mir ein bestimmter Gedanke fehlt ....
Jedenfalls bin ich sehr gespannt auf Antworten :D !
|
|
|
| |
|
Hallo Eisquatsch,
die Stammfunktion nicht ganz richtig aus, es müsste am Ende
[mm] -\frac{a^2}{2}x^\red{2} [/mm] heißen
Dann mal die Grenzen einsetzen:
Also:
[mm] $$\int\limits_0^{a}(x^3-a^2x)dx=\left[\frac{1}{4}x^4-\frac{a^2}{2}x^2\right]_0^{a}=\frac{1}{4}a^4-\frac{a^2}{2}a^2$$
[/mm]
Und das soll gefälligst =4 sein.
Dann mal viel Spaß bei der Berechnung von a 
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hach,
ich hatte dummerweise nicht den ganzen post gelesen,
darum war mir der Fehler in deinem Integranden nicht aufgefallen
Es ist ja zu berechnen
[mm] $\int\limits_0^{a}(x^3-a^2x\red{^2})dx$
[/mm]
Das ist dann natürlich
[mm] $\left[\frac{1}{4}x^4-\frac{a^2}{3}x^3\right]_0^{a}=\frac{a^4}{4}-\frac{a^5}{3}$
[/mm]
Und das soll nun =4 sein
LG
schachuzipus
|
|
|
|
