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| Aufgabe | | Bestimmen sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Gerades, die den y-Achsenabschnitt 8 hat un in [mm] x_w=2 [/mm] eine Wendestelle. Der Punkt P(1/5) soll auf dem Graphen liegen. Die Wendetangente soll parallel zu der Graden mit der Gleichung g(x)= [mm] -\bruch{16}{3}x [/mm] verlaufen. Bestimmen Sie anschließend noch die Nullstellen der gefundenen Funktion. |
Hallo zusammen,
wir beherrschen inzwischen die komplette Kurvendiskussion und schreiben morgen eine (LK) Matheklausur. Bei der Durchsicht der Probeklausur ist mir aufgefallen, dass ich die Parameteraufgaben nicht lösen kann. Oben steht ein Beispiel einer solchen.
Den Ansatz, zunächst die allgemeingültige Funktion aufzuschreiben habe ich.
Dieser lautet ax³+bx²+cx+d.
Für d haben wir 8 gegeben.
Doch wie berechne ich jetzt, anhand der anderen Angaben die fehlenden Werte und Variablen um meine Funktionsgleichung zu erstellen?
Ich bitte um eure Hilfe mit genauen Erklärungen, die ich dann auch auf andere Parameteraufgaben anwenden kann.
Vielen Dank.
Chaosprinzessin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, chaosprinzessin,
> Bestimmen sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion
> dritten Gerades, die den y-Achsenabschnitt 8 hat un in
> [mm]x_w=2[/mm] eine Wendestelle. Der Punkt P(1/5) soll auf dem
> Graphen liegen. Die Wendetangente soll parallel zu der
> Graden mit der Gleichung g(x)= [mm]-\bruch{16}{3}x[/mm] verlaufen.
> wir beherrschen inzwischen die komplette Kurvendiskussion
> und schreiben morgen eine (LK) Matheklausur. Bei der
> Durchsicht der Probeklausur ist mir aufgefallen, dass ich
> die Parameteraufgaben nicht lösen kann. Oben steht ein
> Beispiel einer solchen.
> Den Ansatz, zunächst die allgemeingültige Funktion
> aufzuschreiben habe ich.
> Dieser lautet ax³+bx²+cx+d.
Schreib lieber: f(x) = ax³+bx²+cx+d
> Für d haben wir 8 gegeben.
> Doch wie berechne ich jetzt, anhand der anderen Angaben
> die fehlenden Werte und Variablen um meine
> Funktionsgleichung zu erstellen?
Du musst die Grundsätze der Kurvendiskussion verwenden:
(1) Ist die x-Koordinate eines Extrempunktes gegeben, dann setze diese in die erste Ableitung f'(x) ein und schreibe auf der rechten Seite =0.
(Bei Deiner Aufgabe nicht der Fall, aber könnte vorkommen!)
(2) Ist die x-Koordinate eines Wendepunktes gegeben, dann setze diese in die zweite Ableitung, f''(x) ein und schreibe auf der rechten Seite =0.
Bei Dir: f''(x) = 6ax + 2b.
x=2 eingesetzt: 6a*2 + 2b = 0 oder 12a + 2b = 0.
(3) Sind beide Koordinaten eines Punktes gegeben (bei Dir P(1;5)), dann setze in die Ausgangsgleichung x=1 und y=5 ein:
Bei Dir (d=8 hab' ich schon mit drin!):
a + b + c + 8 = 5
(4) Ist eine Steigung (nennen wir sie "m") an einer bestimmten Stelle x gegeben, dann musst Du dieses x in die erste Ableitung einsetzen; díe rechte Seite ist dann gleich m: f'(x) = m.
Bei Dir hat die Wendetangente die Steigung [mm] m=-\bruch{16}{3}
[/mm]
(Denk' dran, wie man bei einer Geraden - und eine Tangente ist "auch nur" eine Gerade - die Steigung erkennt!). Die von mir erwähnte x-Koordinate, die Du einsetzen musst, ist bei einer WENDEtangente natürlich die x-Koordinate des WENDEpunktes, klar?
Daher: f'(2) = [mm] -\bruch{16}{3}
[/mm]
bzw. 12a + 4b + c = [mm] -\bruch{16}{3}
[/mm]
Naja: Nun hast Du 3 Gleichungen für 3 Unbekannte (a, b, c) und kannst diese ausrechnen!
mfG!
Zwerglein
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| Aufgabe | | "Welche Bedingung muss der Parameter b erfüllen, damit die Funktion f(X)= 0,5x³-bx genau zwei lokale Extremstellen besitzt. Bestimmen Sie die Art der lokalen Extrema und die Koordinaten in Abhängikeit von b." |
Vielen Dank Zwerglein.
Mithilfe des Additionsverfahrens bin ich auf das Ergebnis:
f(x)= [mm] \bruch{1}{3}x³-2x²- \bruch{4}{3}x+8
[/mm]
gekommen 
Du hast mir sehr geholfen.
Es gibt da noch die anderen Parameteraufgaben, in denen ich die Funktion habe, aber eine Bedingung erfüllen muss. Wie gehe ich da vor? Zu den Extremstellen weiß ich, dass die erste Ableitung = 0 sein muss um Extremstellen zu haben.
Kannst du mir dabei helfen?
Dankeschön
Chaosprinzessin
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Hi, chaosprinzessin,
> "Welche Bedingung muss der Parameter b erfüllen, damit die
> Funktion f(X)= 0,5x³-bx genau zwei lokale Extremstellen
> besitzt. Bestimmen Sie die Art der lokalen Extrema und die
> Koordinaten in Abhängikeit von b."
(Mögliche) Extrema berechnet man ja durch
Nullsetzen der 1.Ableitung.
In Deinem Fall ist die 1. Ableitung quadratisch in x und Du erhältst daher beim Nullsetzen eine quadratische Gleichung, die Du "ohne großen Aufwand" durch Wurzelziehen lösen kannst - aber nur, wenn dabei der Radikand (also "das, was in der Wurzel steht") nicht negativ ist.
Genau 2 Lösungen kriegst Du, wenn der Radikand positiv ist.
Durch Einsetzen in f''(x) kriegst Du dann raus, welcher Art die Extrempunkte jeweils sind.
Durch Einsetzen in f(x) kriegst Du raus, welche y-Koordinaten die Punkte haben.
Schreib' mal die Lösung auf: Wir korrigieren gegebenenfalls!
mfG!
Zwerglein
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Hallo zwerglein,
wir haben in die erste Ableitung eingesetzt.
Dann bekommen wir für
[mm] x_1= \bruch{\wurzel{b}}{1,22}
[/mm]
und für [mm] x_2= [/mm] das negative Ergebnis
Wie aber bekommen wir jetzt ein Ergebnis, wenn wir jetzt für f(x) einsetzten?
Danke.
Chaosprinzessin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:33 Mo 18.09.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Chaosprinzessin,
> Hallo zwerglein,
>
> wir haben in die erste Ableitung eingesetzt.
>
> Dann bekommen wir für
> [mm]x_1= \bruch{\wurzel{b}}{1,22}[/mm]
> und für [mm]x_2=[/mm] das negative
> Ergebnis
Da hast du dich wohl verrechnet.
Die Aufgabe lautet:
Aufgabe
"Welche Bedingung muss der Parameter b erfüllen, damit die Funktion f(X)= 0,5x³-bx genau zwei lokale Extremstellen besitzt. Bestimmen Sie die Art der lokalen Extrema und die Koordinaten in Abhängikeit von b."
Die erste Ableitung ist:
$ f'(x) = [mm] \bruch{3}{2} x^2 [/mm] - b $
$ [mm] \bruch{3}{2} x^2 [/mm] - b = 0 $
$ [mm] \gdw x^2 [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} [/mm] b $
$ [mm] \gdw [/mm] x = [mm] \pm \wurzel{\bruch{2}{3} b} [/mm] $
Lass die Wurzel ruhig stehen. Zwei Extrema kann es also nur geben, wenn b>0. Hast du schon in die 2. Ableitung eingesetzt?
> Wie aber bekommen wir jetzt ein Ergebnis, wenn wir jetzt
> für f(x) einsetzten?
Jetzt berechnest du $ [mm] f(\wurzel{\bruch{2}{3} b}) [/mm] $ und $ [mm] f(-\wurzel{\bruch{2}{3} b} [/mm] )$
Einfacher ist es, wenn du in deiner Funktion zunächst x ausklammerst:
$ f(x) = x (0,5 [mm] x^2 [/mm] -b) $
Also
$ [mm] f(\wurzel{\bruch{2}{3} b}) [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{2}{3} b}\ \cdot (\bruch{2}{3} [/mm] b - b) $
Jetzt bist du wieder dran.
Gruß
Sigrid
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Hallo,
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]")  Steckbriefaufgaben
dort ist alles wesentlichezusammengetrgen, was man zum Lösen solcher Aufgaben beachten muss.
Grundsätzlich muss man aus dem Text stets Gleichungen "herauslesen", die man dann als Gleichungssystem lösen muss; und die Probe nicht zu vergessen!
Gruß informix
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