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| Aufgabe | Stellen Sie dieses Gleichungssystem als Parameterform dar?
x1+x2+x3+x4+x5=3
x1+2x2+x3+2x4+2x5 = 4
x1+2x2+x3+2x4+3x5=5 |
Ich habe leider keine Ahnung was genau damit gemeint ist.
Weiters habe ich noch nicht verstanden wie ich ein Gleichungssystem löse, dass mehr Unbekannte als Gleichungen hat. Ich habe dazu zwar schon Beschreibungen gefunden:
http://de.wikibooks.org/wiki/MathGymOS/_LGS/_Mehr_Unbekannte_als_Gleichungen
Leider habe ich es dadurch nicht verstanden. Vielleicht kennt jmd eine Seite wo das ganze leichter erklärt wird oder es findet sich jmd der so nett wäre mir das zu erklären. Ich muss das für die Prüfung unbedingt verstanden haben.
Danke im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Der Trick dabei ist folgender: man betrachtet so viele Unbekannte, wie man Gleichungen zu wenig hat, als bekannt. Dies drückt man am besten damit aus, indem man diese Unbekannten umbenennt:
[mm] x_4=r
[/mm]
[mm] x_5=s
[/mm]
Jetzt könntest du einfach sagen, r und s sind bekannte Zahlen. Dann hast du ein 3x3-LGS, dessen Lösungsmenge von den zwei Parametern r und s abhängt. Diese Lösungsmenge ist im Prinzip die gesuchte Lösung, der Titel legt jedoch nahe, dass du sie noch in vektorieller Form aufschreiben sollst, aber das wirst du aus deinen Unterlagen wissen.
Man kann natürlich alles im Netz finden, auch Anleitungen zu dieser Art Aufgabe. Aber ich würde mal sagen: das bekommst du so hin. Probier es mal und stelle deine Rechnung samt Ergebnissen hier vor, dann sagen wir dir, ob alles richtig ist oder wo noch Fehler sind.
Du hast ja in deinem Profil bisher keine Info drinnen, was genau du für eine Prüfung anstrebst. Wenn du das noch eintragen würdest, könnte man die Hilfestellung noch 'optimieren', indem man nicht zu viel und nicht zu wenig voraussetzt. 
Gruß, Diophant
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Hallo und danke für die rasche Antwort,
bei mir darf man leider gar nichts annehmen :( Mein Schulmathe ist leider doch schon einige Jahre her und davor habe ich eine Handelsakademie besucht. Ich wusste bis dahin nicht einmal was eine Matrix ist und Gleichungssysteme in dieser Form hatte ich nie. (ich werde das noch im Profil ergänzen)
Bedeutet die Darstellung in Parameterform einfach nur in vektorieller Form? Das ist dann leicht :).
Ich habe jetzt mal versucht das Gleichungssystem in folgende Form zu bringen: (sorry für die Darstellung, ich werde mir noch ansehen, wie ich das schön formatieren kann)
1 1 1 1 1 3
1 2 1 2 2 4
1 2 1 2 3 5
1 1 1 1 1 3
0 -1 0 -1 -1 -1
1 2 1 2 3 5
1 1 1 1 1 3
0 -1 0 -1 -1 -1
0 -1 0 -1 -2 -2
darf ich das so machen oder ist das komplett falsch?
1 1 1 1 1 3
0 -1 0 -1 -1 -1
0 0 0 0 1 1
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Di 13.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo und danke für die rasche Antwort,
>
> bei mir darf man leider gar nichts annehmen :( Mein
> Schulmathe ist leider doch schon einige Jahre her und davor
> habe ich eine Handelsakademie besucht. Ich wusste bis dahin
> nicht einmal was eine Matrix ist und Gleichungssysteme in
> dieser Form hatte ich nie. (ich werde das noch im Profil
> ergänzen)
>
> Bedeutet die Darstellung in Parameterform einfach nur in
> vektorieller Form? Das ist dann leicht :).
Das ist es.
>
> Ich habe jetzt mal versucht das Gleichungssystem in
> folgende Form zu bringen: (sorry für die Darstellung, ich
> werde mir noch ansehen, wie ich das schön formatieren
> kann)
>
>
> 1 1 1 1 1 3
> 1 2 1 2 2 4
> 1 2 1 2 3 5
>
>
> 1 1 1 1 1 3
> 0 -1 0 -1 -1 -1
> 1 2 1 2 3 5
>
> 1 1 1 1 1 3
> 0 -1 0 -1 -1 -1
> 0 -1 0 -1 -2 -2
>
> darf ich das so machen oder ist das komplett falsch?
>
>
>
> 1 1 1 1 1 3
> 0 -1 0 -1 -1 -1
> 0 0 0 0 1 1
>
>
>
Wo sind denn die Parameter hin?
Du hast:
[mm]\begin{vmatrix}x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=3\\
x_1+2x_2+x_3+2x_4+2x_5 = 4 \\
x_1+2x_2+x_3+2x_4+3x_5=5 \end{vmatrix}[/mm]
Nehmen wir Diophants Tipp [mm] x_4=r [/mm] und [mm] x_5=s [/mm] ergibt sich:
[mm]\begin{vmatrix}x_1+x_2+x_3+r+s=3\\
x_1+2x_2+x_3+2r+2s = 4 \\
x_1+2x_2+x_3+2r+3s=5 \end{vmatrix}[/mm]
Sortieren
[mm]\begin{vmatrix}x_1+x_2+x_3=3-r-s\\
x_1+2x_2+x_3 = 4-2r-2s \\
x_1+2x_2+x_3=5-2r-3s \end{vmatrix}[/mm]
Löse dieses nun nach den verbliebenden x-Werten.
Also:
[mm]\begin{vmatrix}x_1+x_2+x_3=3-r-s\\
x_1+2x_2+x_3 = 4-2r-2s \\
x_1+2x_2+x_3=5-2r-3s \end{vmatrix}[/mm]
[mm]\stackrel{I-II}{\Leftrightarrow}\begin{vmatrix}x_1+x_2+x_3=3-r-s\\
-x_2 = -1+r+s \\
x_1+2x_2+x_3=5-2r-3s \end{vmatrix}[/mm]
Bestimme nun noch [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{3}
[/mm]
Die Lösung solltest du danach in der folgenden Form schreiben.
[mm] \vec{x}=\vektor{x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}}=\vektor{\ldots\\
-1\\
\ldots\\
0\\
0}+r\cdot\vektor{\ldots\\
1\\
\ldots\\
1\\
0}+s\cdot\vektor{\ldots\\1\\
\ldots\\
0\\
1} [/mm]
Marius
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Danke für Deine ausführliche Antwort.
Leider komme ich aber nicht weiter :(.
Ich habe versucht, x1 und x3 auszurechnen, bleibe aber leider hängen :(
x1+x2+x3 = 3 – r – s
x1+2x2+x3 =4 - 2r - 2s -I
x1+2x2+x3 =5 - 2r - 3s
x1+x2+x3 = 3 –r -s
-x2 = -1 +r +s
x1+2x2+x3 = 5 -2r -3s -I
x1+x2+x3 = 3 – 3 –s
-x2 = -1 +r +s
-x2 = -2 +r +2s -II
x1+x2+x3 = 3 -r -s
-x2 = -1 +r +s
0 = 1 - s
bin dankbar für jede Hilfe.
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Hallo,
ich fürchte, ichg habe da auch zunächst etwas übersehen, was dir jetzt vermutlich das Leben schwer macht.
Wenn du in der Augangsversion deines LGS mal die Zeilen 2 und 3 genau betrachtest, dann folgt durch Subtraktion
[mm] x_5=1
[/mm]
Jetzt aber Achtung! Wenn man das einsetzt, dann sehen die Zeilen 2 und 3 identisch aus. D.h, du hast jetzt ein 2x4-LGS und benötigst weiterhin 2 Parameter. Probiere es nohcmal so, also
1 1 | 2-r-s
1 2 | 2-r-2s
Dabei habe ich [mm] x_3=r [/mm] und [mm] x_4=s [/mm] gesetzt.
Gruß, Diophant
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Danke für deine Antwort und Hilfe
ist die richtige lösung nun:
x2 = -s
x1 = 2 - r
(Die Darstellung als Vektor kann ich leider noch nicht)
2 1 0
0 0 -1
0 1 0
0 0 1
1 0 0
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Hallo,
> Danke für deine Antwort und Hilfe
>
> ist die richtige lösung nun:
>
> x2 = -s
> x1 = 2 - r
ja, so ist es.
> (Die Darstellung als Vektor kann ich leider noch nicht)
> 2 1 0
> 0 0 -1
> 0 1 0
> 0 0 1
> 1 0 0
>
Man kann die LÖsungsmenge entweder so angeben:
[mm]\IL=\{2-r;-s;r;s;1\}[/mm]
oder so:
[mm] \vec{x}=\vektor{2\\0\\0\\0\\1}+r*\vektor{-1\\0\\1\\0\\0}+s*\vektor{0\\-1\\0\\1\\0}
[/mm]
Wenn dir letzteres nichts sagt, dann war mit Parameterform wohl doch meine erste Schreibweise gemeint.
Gruß, Diophant
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Spitze vielen vielen Dank, eine Frage hätte ich noch:
Ich hatte zuerst die I und II Zeile subtrahiert und für x2 = 1 -r-s erhalten.
Wie kann das sein? Es müsste doch auf unterschiedlichen Wegen zur selben Lösung führen?
GlG
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Hallo,
zu Beginn waren ja die Parameter anders gewählt, daher das abweichende Ergebnis. Ich hatte auch erst nachher gemerkt, dass [mm] x_5=1 [/mm] ist und das dann daraufhin geändert.
Gruß, Diophant
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Danke für deine Hilfe,
lg
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