Parameterform --> Normalenform < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 So 28.02.2010 | | Autor: | m4rio |
| Aufgabe | x = [mm] \vektor{5\\2\\3} [/mm] + r [mm] \vektor{1\\0\\2} [/mm] + [mm] s\vektor{0\\-5\\8}
[/mm]
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Hallo,
wir haben zunächst die Richtungsvektoren mit [mm] \vektor{n1\\n2\\n3} [/mm] multipliziert
und erhielten 1n1 + 2n3 = 0 & -5n2 +8n3 =0
jetzt wurde umgestellt nach
n1 = -2n3 & n2 = 8/5 n3
Außerdem soll man für n3 eine beliebige Zahl einsetzen (bei uns n3 = 5 )
also ergaben sich insgesamt folgende Gleichungen
n1 = -10
n2 = 8
n3 = 5
damit bildeten wir unseren normalenvektor = [mm] \vektor{-10\\8\\5} [/mm]
und nahmen den Stützvektor der Ursprungs-(PArameter)-Funktion, um die Normalengleichung zu bilden
[mm] (\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{5\\2\\3} [/mm] ) * [mm] \vektor{-10\\8\\5}
[/mm]
Das man n3 beliebig Wählen kann, da sich der Rest dadurch im gleichen VErhältnis verändert, scheint mir logisch...
was passiert allerdings, wenn wir in beiden Richtungsvektoren jeweils n1,n2 & n3 haben... dann würde diese Methode nicth mehr funktionieren oder?
Wäre es nciht Vorteilhafter das ganze mit dem Kreuzprodukt zu lösen...
Mein Lehrer war nicth sehr begeistert davon, da wir erstmal diesen Weg schnallen sollen... mh
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> x = [mm]\vektor{5\\2\\3}[/mm] + r [mm]\vektor{1\\0\\2}[/mm] +
> [mm]s\vektor{0\\-5\\8}[/mm]
>
> Hallo,
>
> wir haben zunächst die Richtungsvektoren mit
> [mm]\vektor{n1\\n2\\n3}[/mm] multipliziert
>
> und erhielten 1n1 + 2n3 = 0 & -5n2 +8n3 =0
>
> jetzt wurde umgestellt nach
>
>
> n1 = -2n3 & n2 = 8/5 n3
>
> Außerdem soll man für n3 eine beliebige Zahl einsetzen
> (bei uns n3 = 5 )
>
>
> also ergaben sich insgesamt folgende Gleichungen
>
>
> n1 = -10
>
> n2 = 8
>
> n3 = 5
>
>
> damit bildeten wir unseren normalenvektor =
> [mm]\vektor{-10\\8\\5}[/mm]
>
> und nahmen den Stützvektor der
> Ursprungs-(PArameter)-Funktion, um die Normalengleichung zu
> bilden
>
>
> [mm](\vec{x}[/mm] - [mm]\vektor{5\\2\\3}[/mm] ) * [mm]\vektor{-10\\8\\5}[/mm] [mm] \red{=0}
[/mm]
Hallo,
Ihr habt's schön gemacht bisher - nun vergeßt bei der Gleichung nicht das [mm] \red{=0}, [/mm] das brigt Euch sonnst 'nen kräftigen Punktabzug, und den wollt Ihr doch nicht haben.
Es soll doch eine Ebenengleichung sein..
>
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> Das man n3 beliebig Wählen kann, da sich der Rest dadurch
> im gleichen VErhältnis verändert, scheint mir logisch...
Ja. Der Normalenvektor ist nicht eindeutig. Jedes (von 0 verschiedene) Vielfache irgendeines Vektors der in die richtige Richtung zeigt, ist ja ebenfalls ein Normalenvektor.
>
>
> was passiert allerdings, wenn wir in beiden
> Richtungsvektoren jeweils n1,n2 & n3 haben... dann würde
> diese Methode nicth mehr funktionieren oder?
Doch. Eliminiert eine Variable in der zweiten Gleichung und setzt dann eine der verbleibenden Variablen beliebig.
Beispiel:
[mm] 2n_1+3n_2+4n_3=0
[/mm]
[mm] 4n_1+5n_2+6n_3=0
[/mm]
Erste Gleichung nach [mm] n_1 [/mm] auflösen und in die zweite einsetzen ergibt
[mm] -n_2 -2n_3=0,
[/mm]
mit [mm] n_3:=1 [/mm] erhält man [mm] n_2= [/mm] -2 und [mm] n_1= [/mm] 1.
>
>
> Wäre es nciht Vorteilhafter das ganze mit dem Kreuzprodukt
> zu lösen...
>
>
> Mein Lehrer war nicth sehr begeistert davon, da wir erstmal
> diesen Weg schnallen sollen... mh
Was vorteilhaft ist, kommt immer darauf an, was man besser kann.
Der Weg übers Kreuzprodukt ist uneingeschränkt passend und empfehlenswert - sofern man das Kreuzprodukt richtig kann.
Rechnet es doch auch mal übers Kreuzprodukt und schaut, ob Eure Ergebnisse zueinander passen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 So 28.02.2010 | | Autor: | m4rio |
Habe das Ganze schon mit dem Kreuzprodukt berechnet und muss sagen, es ist um einiges schneller...
Richtungsvektoren der Parametergleichung miteinander kreuzmultipliziert :
1 0
0 -5
2 8
1 0
0 -5
x1 : 0*8 - 2(-5) ---> -10
x2: 2*0 - 1*8 ----> -8
x3: 1(-5) - 0*0 ----> -5
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{-10\\-8\\-5}
[/mm]
dann den Stützvektor der Ursprungsfunktion als [mm] \vec{p}
[/mm]
(x - [mm] \vektor{5\\2\\3}) [/mm] * [mm] \vektor{-10\\-8\\-5} [/mm]
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> Habe das Ganze schon mit dem Kreuzprodukt berechnet und
> muss sagen, es ist um einiges schneller...
>
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> Richtungsvektoren der Parametergleichung miteinander
> kreuzmultipliziert :
>
> 1 0
>
> 0 -5
>
> 2 8
>
> 1 0
>
> 0 -5
>
>
> x1 : 0*8 - 2(-5) ---> -10
Das sollte dann aber doch +10 sein....
>
> x2: 2*0 - 1*8 ----> -8
>
> x3: 1(-5) - 0*0 ----> -5
>
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> [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\vektor{-10\\-8\\-5}[/mm]
>
>
> dann den Stützvektor der Ursprungsfunktion als [mm]\vec{p}[/mm]
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> (x - [mm]\vektor{5\\2\\3})[/mm] * [mm]\vektor{-10\\-8\\-5}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:38 So 28.02.2010 | | Autor: | m4rio |
stimmt, Vorzeichenfehler... bleibe wohl doch bei der anderen Variante.. :)
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