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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:41 Do 07.10.2010 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Sei $ c:[a,b] [mm] \to \IR^n [/mm] $ eine parametrisierte Kurve. Sei $ P $ ein in $ c $ eingeschriebenes Polygon. Zeigen Sie:
$ L[P] [mm] \le [/mm] L[c] $
Zeigen Sie ferner, dass
$ L[c] = [mm] \sup_P [/mm] L[P] $ |
Hallo,
ich bräuchte bei dieser Aufgabe einen Tip oder Hinweis. Leider komme ich auf keinen grünen Zweig.
Definitionen:
$ L[P] := [mm] \sum_{i}^k [/mm] || [mm] a_i [/mm] - [mm] a_{i-1} [/mm] || $
$ L[c] := [mm] \int_b^a [/mm] || [mm] \dot [/mm] c (t) || dt $
Polygon $ P = [mm] (t_0,....,t_k) [/mm] $
Zu zeigen gilt also, dass
$ [mm] \sum_{i}^k [/mm] || [mm] a_i [/mm] - [mm] a_{i-1} [/mm] || [mm] \le \int_b^a [/mm] || [mm] \dot [/mm] c (t) || dt $
Mit hilfe der Dreiecksungleichung lässt sich schnell zeigen, dass für ein Polygon $ P' $, das aus Verfeinerung der Zerlegung von $ [a,b] $ aus $ P $ hervorgeht, gilt: $ P' [mm] \ge [/mm] P $
Da $ L[c] $ die feinste Zerlegung darstellt, ist mir die Gleichung anschaulich klar. Allerdings kriege ich keine geschickten Umformungen zu stande, um das auch wirklich beweisen zu können.
Ein möglicher Ansatz sähe demnach bei mir in etwa so aus:
Sei $ P = [mm] (t_0, [/mm] ..., [mm] t_n) [/mm] $ das Polygon mit der Zerlegung $ Z = (a = [mm] t_0< [/mm] ... < [mm] t_n [/mm] = b ) $ des Intervalls $ [a,b] = I $.
Die Feinheit von Z ist per def. $ [mm] \Phi(Z) [/mm] = [mm] \max_{i=1,...,n} |t_i [/mm] - [mm] t_{i-1} [/mm] | $
Sei weiter $ P' = [mm] (t_0', [/mm] ..., [mm] t_n') [/mm] $ mit Zerlegung $ Z'$ und Feinheit $ [mm] \Phi(Z') [/mm] = [mm] \max_{i=1,...,n+k} |t_i [/mm] - [mm] t_{i-1} [/mm] | $
Nach der Dreiecksungleichung folgt dann $ L[P] [mm] \le [/mm] L[P'] $.
Sei ferner $ [mm] Z_N [/mm] $ eine Folge von Zerlegungen des Intervalls $ I = [a,b] $. Mit $ [mm] \Phi(Z_N) \to [/mm] 0 $ für $ N [mm] \to \infty [/mm] $. Bezeichnet man mit $ [mm] L[P_N]$ [/mm] den Grenzwert dieser Folge, so ist $ [mm] L[P_N] [/mm] = [mm] \sup \{ L[P_i] : i \in \IN \}$.
[/mm]
Wenn meine Gedanken bis hier richtig sind, bliebe mir nur noch zu zeigen, dass $ [mm] L[P_N] [/mm] = L[c] $. Doch da steck ich fest.
Ich habe auch bereits versucht, die Normen bzgl. der euklidischen Norm als $ || x || = [mm] \sqrt{\sum |x_i|^2} [/mm] $ darzustellen. Allerdings fehlt mir dann eine Abschätzung des Integrals durch eine Summe o.ä.
Gibt es eine Darstellung von $ [mm] \int_b^a [/mm] || [mm] \dot [/mm] c (t) || dt $ durch etwas wie $ [mm] \lim \sum [/mm] $ ? Das würde mir eventuell helfen.
E D I T
Ich hätte vielleicht eine weitere Idee zur Lösung. Für die Kurve $ c $ gibt es für jedes $ [mm] \varepsilon [/mm] > 0 $ ein $ [mm] \delta [/mm] > 0 $, so dass für jede Zerlegung $ Z $ des Intervalls $ I $ mit Feinheit kleiner als $ [mm] \delta [/mm] $ gilt:
$ |L[c] - L[P]| < [mm] \varepsilon [/mm] $ und $ P = ( [mm] c(t_0) [/mm] ,..., [mm] c(t_n) [/mm] ) $
Wegen $ 0 < [mm] L[P_i] [/mm] < [mm] L[P_{i+1}] [/mm] $ ist die Folge $ [mm] L[P_N] [/mm] $ monoton wachsend und durch seinen Grenzwert (nach oben) beschränkt. Durch
$ |L[c] - L[P]| < [mm] \varepsilon [/mm] $ folgt $ [mm] L[P_N] \to [/mm] L[c] $ und $ L[c] = [mm] \sup_P [/mm] L[P] $
Nun müsste mir nur noch jemand sagen, ob das in etwa richtig ist.
Vielen Dank
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 Do 07.10.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Genau, du kannst einfach zeigen, dass [mm] $L(Z')\ge [/mm] L(Z)$, falls Z' eine feinere Zerlegung als Z ist. danach ist das wichtige, dass du das verwenden darfst, was du in deinem Edit geschrieben hast. Darfst du doch, oder? Bei uns war das auch ein Lemma, das wir dafür gebraucht haben.
Dann passt das alles auf alle Fälle so. [mm] L(Z_n) [/mm] ist monoton steigend und konvergiert gegen L(c), daher ist das Supremum der ganzen Polygonzüge gleich L(c).
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Do 07.10.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hi Teufel,
wunderbar! Vielen Dank für's drüberschauen.
Das Lemma darf ich benutzen, jo.
Viele Grüße
ChopSuey
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