Parametrisierung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Mo 28.03.2011 | | Autor: | jaood |
| Aufgabe | | Es soll die Schnittmenge der Ebene [mm] $E=\left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | 2z+x=1 \right\}$ [/mm] mit dem Kegel [mm] $K=\left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x^2+y^2-z^2=0 \right\}$ [/mm] parametrisiert werden. |
Hallo,
habe große Probleme mit dieser Aufgabe, da es sich um 3 Variablen handelt und man sich das nicht anschaulich vergegenwärtigen kann. Noch dazu finde ich keine gute Anleitung zur Parametrisierung.
Also die Schnittmenge ist die Gleichung [mm] $2z+x-1=x^2+y^2-z^2$, [/mm] richtig? Wie starte ich nun? Ich möchte ja eine Darstellung die Abhängig ist von einem Parameter t. Wie kann ich da vorgehen?
Für ein guten Tipp wäre ich sehr Dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Mo 28.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib den Kegel in zylinderkoordinaten , z=r, dann die ebenengl nach r auflosen und für r in [mm] (x,y,z)^T [/mm] einsetzen.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Mo 28.03.2011 | | Autor: | jaood |
Danke für den Tipp!
Ich habe den Kegel und die Ebene in Zylinderkoordinaten beschrieben und erhalten [mm] $(\rho\cos\phi)^2+(\rho\sin\phi)^2=r^2$ [/mm] für den Kegel und [mm] $r=\frac{1}{2}-\frac{\rho\cos\phi}{2}$ [/mm] für die Ebene. Es folgt, dass [mm] $\rho^2=r^2$ [/mm] ? Kann das so richtig sein? Wenn ja, wie soll es weiter gehen. Tut mir leid, dass ich so doof frage, aber ich habe gerade wirklich kein Plan wie ich auf die Parametrisierung komme.
Mein konkretes Problem ist, dass ich von der gegebenen Darstellung die Unterscheidung in x, y und z bekomme und den richtigen Parameter.
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Hallo jaood,
> Danke für den Tipp!
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> Ich habe den Kegel und die Ebene in Zylinderkoordinaten
> beschrieben und erhalten
> [mm](\rho\cos\phi)^2+(\rho\sin\phi)^2=r^2[/mm] für den Kegel und
> [mm]r=\frac{1}{2}-\frac{\rho\cos\phi}{2}[/mm] für die Ebene. Es
> folgt, dass [mm]\rho^2=r^2[/mm] ? Kann das so richtig sein? Wenn ja,
Ja, das richtig.
> wie soll es weiter gehen. Tut mir leid, dass ich so doof
Wenn Du jetzt r ersetzt, dann steht doch da:
[mm]\rho^{2}=\left( \ \frac{1}{2}-\frac{\rho\cos\phi}{2} \ \right)^{2}[/mm]
Nun kannst Du [mm]\rho[/mm] in Abhängigkeit von [mm]\phi[/mm] bestimmen.
> frage, aber ich habe gerade wirklich kein Plan wie ich auf
> die Parametrisierung komme.
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> Mein konkretes Problem ist, dass ich von der gegebenen
> Darstellung die Unterscheidung in x, y und z bekomme und
> den richtigen Parameter.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Mo 28.03.2011 | | Autor: | jaood |
Danke für die schnelle Antwort.
Ich erhalte [mm] $\rho^2=\frac{1}{4}-\frac{\rho\cos\phi}{2}+\frac{\rho^2\cos^2\phi}{4}$ [/mm] und damit vor allem die Frage, wo die Reise hingehen soll. Denn mein großes Problem ist, dass mir nicht einfach die Lösung fehlt, sondern das Verständnis der Parametrisierung.
In diesem Fall wird nun ein Doppelkegel von einer Ebene geschnitten. Wir erhalten bedingt durch den Winkel eine Ellipse. Die Elippsengleichung in Parameterform lautet:
[mm] \vektor{x \\ y}=\vektor{x_0+a cos t \\ y_0+ b sin t} [/mm] mit 0 [mm] \leq [/mm] t [mm] \leq 2\pi [/mm] und [mm] (x_0, y_0) [/mm] als Mittelpunkt.
Nun finde ich aber nirgendwo im Internet, Skript oder meiner Mathebibliothek ein Algorithmus, wie ich vorgehen soll, um von meiner Schnittgleichung, bzw dem Kegel und der Ebene auf dieses Ergebnis zu kommen. Das Einzige was mir beigebracht wurde war, dass man wenn man das Zeug skizziert, man die Parametrisierung Stückweise durch scharfes Hinsehen vornehmen kann. Aber das funktioniert mit 3 Variablen hier schlecht. Bin ein wenig ratlos.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 Mo 28.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Parametrisieren durch einen parameter, z. bsp t kann man jede brave Kurve in 3d, wenn man den Vektor r(t)=[mm]\vektor{x (t)\\
y(t)\\
z(t)}[/mm] wemm man dann t ändert, durchlaufen die punkte r(t) die Kurve.
hier hast du für die Kegelfläche 2 Parameter, r und t
Kegelf: [mm]\vektor{rcos(t)\\
rsin(t)\\
r}\textrm{ auserdem hast du
} z=r=(1-x)/2 \textrm{ also } r=(1-rcos(t))/2[/mm] aus der Ebenengl.
daraus r=
das setzt du in die Kegelfl. ein und hast die Kurve nur noch mit parameter t.
Klar?
dei Ellipse, die du angegeben hast liegt in der x-y Ebene, diese hier aber schräg!
gruss leduart
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