Parametrisierung - Zylinder < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man gebe eine Parametrisierung für die Mantelfläche eines Drehzylinders mit dem Radius R und der z-Achse als Rotationsachse an. Für welche Parameterwerte erhält man den Punkt [mm] P(R/\wurzel{2}, R/\wurzel{2}, 3*\pi/4) [/mm] auf der Zylinderoberfläche?
Gesucht sind ferner die Parameterdarstellungen für folgende drei Kurven durch den Punkt P auf der Mantelfläche: (a) eine Meridianlinie (d.h Parallele zur Zylinderachse), (b) einen Breitenkreis und (c) eine Schraubenlinie mit der Ganghöhe [mm] 2*\pi [/mm] |
Hi,
also ich hätte mir folgendes überlegt:
Die Mantelfläche eines Zylinders bekomme ich, indem ich einen Kreis in der x-y-Ebene mit Radius R um H (die Höhe des Zylinders) auf der z-Achse verschiebe.
Ein Kreis mit Radius R ist parametrisiert mit (R * [mm] sin(\phi), [/mm] R * [mm] cos(\phi)). [/mm] Um den Kreis in z-Richtung zu verschieben, benötige ich eine Laufvariable, die von 0 bis zur Höhe des Zylinders läuft.
Ich würde daher auf folgende Parameterdarstellung kommen:
[mm] \overrightarrow{x}(\phi, [/mm] t) = [mm] \vektor{x(\phi, t) \\ y(\phi, t) \\ z(\phi, t)} [/mm] = [mm] \vektor{R*sin(\phi) \\ R*cos(\phi) \\ t} [/mm] mit 0 [mm] \le \phi \le 2*\pi, [/mm] 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] H
Um die Parameterwerte für den Punkt zu bekommen, hätte ich das Vektorfeld mit dem Punkt gleichgesetzt (bin mir da aber wirklich nicht sicher, ob das stimmt):
[mm] \vektor{R*sin(\phi) \\ R*cos(\phi) \\ t} [/mm] = [mm] \vektor{R/\wurzel{2} \\ R/\wurzel{2} \\ 3*\pi/4}
[/mm]
Dann würde ich [mm] \phi [/mm] = 45° und t = [mm] 3*\pi/4 [/mm] herausbekommen.
zu a.)
Da hier eine Parallele zur Zylinderachse gesucht ist, hätte ich vermutet, dass ich den Punkt P in z-Richtung verschieben muss. Also:
[mm] \overrightarrow{x}_{Median} [/mm] = [mm] \vektor{x(t) \\ y(t) \\ z(t)} [/mm] = [mm] \vektor{R*sin(45°) \\ R*cos(45°) \\ t} [/mm] mit 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] H
zu b.)
Unter einem Breitenkreis hab ich mir einen Kreisscheibe mit Radius, auf Höhe des Punktes P [mm] (3*\pi/4) [/mm] vorgestellt:
[mm] \overrightarrow{x}_{Breitenkreis} [/mm] = [mm] \vektor{x(\phi) \\ y(\phi) \\ z(\phi)} [/mm] = [mm] \vektor{R*sin(\phi) \\ R*cos(\phi) \\ 3*\pi/4} [/mm] mit 0 [mm] \le \phi \le 2*\pi [/mm]
zu c.)
Hier fehlt mir leider ein Ansatz.
Ich würde mich freuen, wenn ihr meine Lösung mal kurz kontrollieren könntet (bin mir ziemlich unsicher, ob meine Überlegungen stimmen) und mir vielleicht einen Tipp für die Aufgabenstellung c.) geben könntet.
Ich danke euch!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:58 Mo 12.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
nichts falsch, aber üblicherweise hat man [mm] \phi=0 [/mm] auf der x-achse, also [mm] x=Rcos\phi, y=Rsin\phi
[/mm]
bei der schrobenlinie mus z um [mm] 2\pi [/mm] höher sein, wenn der Kreis einmal umlaufen ist, was musst du dann statt t schreiben?
du darfst ja für eine kurve nur einen parameter haben, also musst du t durch [mm] \phi [/mm] oder umgekehrt ausdrücken.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
> Hallo
> nichts falsch, aber üblicherweise hat man [mm]\phi=0[/mm] auf der
> x-achse, also [mm]x=Rcos\phi, y=Rsin\phi[/mm]
Danke, hab ich in meiner Mitschrift ausgebessert!
> bei der schrobenlinie
> mus z um [mm]2\pi[/mm] höher sein, wenn der Kreis einmal umlaufen
> ist, was musst du dann statt t schreiben?
> du darfst ja für eine kurve nur einen parameter haben,
> also musst du t durch [mm]\phi[/mm] oder umgekehrt ausdrücken.
Mit dem kleinen Denkanstoß hätte ich mir folgendes überlegt:
Eine Schraubenlinie ist auf der x-y-Ebene ein Kreis. Dieser ist mit (R * cos(t), R * sin(t)) parametrisiert. Betrachtet man die Schraubenlinie aus der Distanz, dann sieht man, dass sich die Funktion mit konstanter Geschwindigkeit empor schlängelt. Die Funktion für z ist demnach eine Geradengleichung mit z(t) = c + m * t.
Die Ganghöhe h ist jene Strecke, um die sich eine Schraube bei einer Umdrehung nach oben windet.
d.h: h = m * [mm] 2*\pi
[/mm]
Die Ganghöhe h soll in diesem Beispiel [mm] 2*\pi [/mm] sein.
=> h = [mm] 2*\pi [/mm] = m * [mm] 2*\pi [/mm]
Es ergibt sich daraus m = 1.
Ich würde daher auf folgende Parametrisierung kommen:
[mm] \overrightarrow{x}_{Schraubenlinie} [/mm] = [mm] \vektor{x(t) \\ y(t) \\ z(t)} [/mm] = [mm] \vektor{R * cos(t) \\ R * sin(t) \\ c + t}
[/mm]
Kann das so stimmen, oder bin ich auf dem falschen Weg?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Mo 12.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, du musst dein c noch so wählen, dass die allgemeine Schraubenlinie durch den gegebenen Punkt geht.
gruss leduart
|
|
|
|
