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| Aufgabe | h->a viertel Kreis mit dem Mittelpunkt 0.
[Dateianhang nicht öffentlich]
a)
Berechne das Integral für die rote Strecke in der Figur.
[mm] \integral_{a}^{h}{z dz}
[/mm]
b)
Berechne das Integral für die rote Strecke in der Figur.
[mm] \integral_{a}^{h}{\sin z dz}
[/mm]
c)
Finde alle Residuen der Funktion:
[mm] f(z)=\bruch{z}{(z^2+2)^2}
[/mm]
d)
Berechnen das Integral der roten Strecke in der Figur.
[mm] \integral_{a}^{h}{\bruch{z}{(z^2+2)^2} dz}
[/mm]
e)
Gibt es eine Erklärung warum die Summe der Residuen für f(z) in c) addiert 0 ergibt?
Tipp: Es gilt für rationale Funktionen bei denen der Exponent vom Zähler 2 oder mehr, kleiner ist als der Exponent des Nenners: in diesem Fall: [mm] 1\le4-2
[/mm]
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Hallo :)
Hier mein Ansatz:
[mm] a=2i*\vektor{0 \\ s \\0}
[/mm]
[mm] b=-2*\vektor{t \\0 \\0}
[/mm]
[mm] c=i*\vektor{0 \\ s \\0}
[/mm]
[mm] d=-\vektor{t \\0 \\0}
[/mm]
[mm] e=-i*\vektor{0 \\ s \\0}
[/mm]
[mm] f=\vektor{t \\0 \\0}
[/mm]
[mm] g=\vektor{t \\0 \\0}-i*\vektor{0 \\ s \\0}
[/mm]
[mm] h=2*\vektor{t \\0 \\0}
[/mm]
[mm] \gamma_{1}=2i-(2i-2)t
[/mm]
[mm] \gamma_{2}=-2+(2+i)t
[/mm]
[mm] \gamma_{3}=i-(i+1)t
[/mm]
[mm] \gamma_{4}=-1-(-1+i)t
[/mm]
[mm] \gamma_{5}=-i+(i+1)t
[/mm]
[mm] \gamma_{6}=1-i*t
[/mm]
[mm] \gamma_{7}=1-i+(1+i)t
[/mm]
kann ich diese nun einfach addieren um dann das Integral zu berechnen?
Kann ich bei den Grenzen einfach a=2i und h=2 einsetzen?
zu c)
ich wollte sie nullstellen bestimmen bei [mm] (z^2+2)^2
[/mm]
setze ich hier für z a+bi ein?
wenn ich einfach nach z auflöse komme ich auf keine Nullstelle...
Vielen lieben Dank für eure Hilfe, liebe Grüße und einen schönen Abend :)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Alaizabel,
> h->a viertel Kreis mit dem Mittelpunkt 0.
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> a)
> Berechne das Integral für die rote Strecke in der Figur.
> [mm]\integral_{a}^{h}{z dz}[/mm]
>
> b)
> Berechne das Integral für die rote Strecke in der Figur.
> [mm]\integral_{a}^{h}{\sin z dz}[/mm]
>
> c)
>
> Finde alle Residuen der Funktion:
> [mm]f(z)=\bruch{z}{(z^2+2)^2}[/mm]
>
> d)
>
> Berechnen das Integral der roten Strecke in der Figur.
>
> [mm]\integral_{a}^{h}{\bruch{z}{(z^2+2)^2} dz}[/mm]
>
> e)
> Gibt es eine Erklärung warum die Summe der Residuen für
> f(z) in c) addiert 0 ergibt?
> Tipp: Es gilt für rationale Funktionen bei denen der
> Exponent vom Zähler 2 oder mehr, kleiner ist als der
> Exponent des Nenners: in diesem Fall: [mm]1\le4-2[/mm]
>
> Hallo :)
>
> Hier mein Ansatz:
>
> [mm]a=2i*\vektor{0 \\ s \\0}[/mm]
> [mm]b=-2*\vektor{t \\0 \\0}[/mm]
>
> [mm]c=i*\vektor{0 \\ s \\0}[/mm]
> [mm]d=-\vektor{t \\0 \\0}[/mm]
>
> [mm]e=-i*\vektor{0 \\ s \\0}[/mm]
> [mm]f=\vektor{t \\0 \\0}[/mm]
> [mm]g=\vektor{t \\0 \\0}-i*\vektor{0 \\ s \\0}[/mm]
>
> [mm]h=2*\vektor{t \\0 \\0}[/mm]
>
> [mm]\gamma_{1}=2i-(2i-2)t[/mm]
Hier muss [mm]\gamma_{1}\left(t\right)[/mm] lauten:
[mm]\gamma_{1}=2i-(2i\red{+}2)t, \ 0 \le t \le 1[/mm]
> [mm]\gamma_{2}=-2+(2+i)t[/mm]
> [mm]\gamma_{3}=i-(i+1)t[/mm]
> [mm]\gamma_{4}=-1-(-1+i)t[/mm]
> [mm]\gamma_{5}=-i+(i+1)t[/mm]
> [mm]\gamma_{6}=1-i*t[/mm]
> [mm]\gamma_{7}=1-i+(1+i)t[/mm]
>
> kann ich diese nun einfach addieren um dann das Integral zu
> berechnen?
> Kann ich bei den Grenzen einfach a=2i und h=2 einsetzen?
Nein, die Kurvenintegrale musst Du jedes für sich berechnen.
[mm]\integral_{a}^{h}{z \ dz}=\summe_{i=1}^{7}{\integral_{\gamma_{i}}^{}{z \ dz}}[/mm]
>
> zu c)
>
> ich wollte sie nullstellen bestimmen bei [mm](z^2+2)^2[/mm]
> setze ich hier für z a+bi ein?
> wenn ich einfach nach z auflöse komme ich auf keine
> Nullstelle...
Die Lösungen der Gleichung
[mm]\left(z^{2}+2\right)^{2}=0[/mm]
sind nicht reell.
>
> Vielen lieben Dank für eure Hilfe, liebe Grüße und einen
> schönen Abend :)
Gruss
MathePower
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Hallo und vielen Dank für Deine Hilfe,
ich habe das mit dem Integral noch nicht ganz verstanden....
Ich integriere z und habe dann [mm] \bruch{z^2}{2} [/mm] dort muss ich noch die Grenzen einsetzten aber wie komme ich auf diese Grenzen, sind das die [mm] \gamma [/mm] s?
Vielen lieben Dank für Deine Hilfe :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Do 26.11.2009 | | Autor: | Alaizabel |
Ah, ich habs verstanden das sind die Grenzen, also immer 0 und 1...
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Hallo Alaizabel
> Hallo und vielen Dank für Deine Hilfe,
>
> ich habe das mit dem Integral noch nicht ganz
> verstanden....
>
> Ich integriere z und habe dann [mm]\bruch{z^2}{2}[/mm] dort muss ich
> noch die Grenzen einsetzten aber wie komme ich auf diese
> Grenzen, sind das die [mm]\gamma[/mm] s?
Das geht folgendermaßen:
[mm]\integral_{\gamma}^{}{z \ dz\right)=\integral_{0}^{1}{\gamma\left(t\right) *\dot{\gamma}\left(t\right) \ dt\right)[/mm]
,wobei [mm]z=\gamma\left(t\right), \ 0 \le t \le 1[/mm]
>
> Vielen lieben Dank für Deine Hilfe :)
Gruss
MathePower
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Hallo,
danke nochmals für Deine Hilfe ich habe jetzt ein wenig gerechnet und komme auf:
a)
1:4
[mm] 2:-\bruch{5}{2}
[/mm]
3:1
4:-1
5:1
[mm] 6:-\bruch{1}{2}-i
[/mm]
7:2+i
b)
1: [mm] \cosh [/mm] 2- [mm] \cos [/mm] 2
2: [mm] \cos [/mm] 2- [mm] \cosh [/mm] 1
[mm] 3:\cosh 1-\cos [/mm] 1
[mm] 4:\cos 1-\cosh [/mm] 1
[mm] 5:\cosh 1-\cos [/mm] 1
[mm] 6:\bruch{-(e^2-2*e1)+\cos 1*e^{-1}}{2}-\sinh 1*\sin [/mm] 1*i
7: [mm] \cosh 1*\cos 1-\cos 2+\sinh 1*\sin [/mm] 1*i
stimmen diese Annahmen?
Vielen lieben Dank für Deine gute Hilfe :)
liebe Grüße
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
