Parametrisierung nach Bogenlän < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:02 Mo 24.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe Frage zu ![[]](/images/popup.gif) Parametrisierung nach Bogenlänge.
Mir ist nicht klar, warum [mm] ||c'(s)||=||\bruch{dc(t)}{dt}*\bruch{dt}{ds}|| [/mm] gilt.
Ich dachte eigentlich, dass s von t abhängt ( also s(t)) und nicht t(s).
In der Gleichung scheint aber t von s abzuhängen. Aber was bedeutet dann c'(s)? (darauf wird Kettenregel angewandt, obwohl man erstmal nur eine(!) Funktion (nämlich c) sieht.Der Parameter s steht in der Klammer als eine Funktion in Abhängigkeit von t , oder t ist die Funktion in Abhängigkeit von s, und warum?)
Gruss
Igor
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:17 Mo 24.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich habe Frage zu
> Parametrisierung nach Bogenlänge.
>
> Mir ist nicht klar, warum
> [mm]||c'(s)||=||\bruch{dc(t)}{dt}*\bruch{dt}{ds}||[/mm] gilt.
>
> Ich dachte eigentlich, dass s von t abhängt ( also s(t))
> und nicht t(s).
> In der Gleichung scheint aber t von s abzuhängen. Aber
> was bedeutet dann c'(s)? (darauf wird Kettenregel
> angewandt, obwohl man erstmal nur eine(!) Funktion
> (nämlich c) sieht.Der Parameter s steht in der Klammer als
> eine Funktion in Abhängigkeit von t , oder t ist die
> Funktion in Abhängigkeit von s, und warum?)
>
Die obigen Bez. sind nicht gerade glücklich gewählt.
Sei $c:[a,b] [mm] \to \IR^n$ [/mm] ein stetig differenzierbarer Weg mit der Länge L.
Die Weglängenfunktion s von c ist gegeben durch
[mm] $s(t)=\integral_{a}^{t}{||c'(x)|| dx}$ [/mm] für t [mm] \in [/mm] [a,b].
Dann ist s stetig und streng wachsend und es gilt
(*) $s'(t)=||c'(t)||$
s besitzt also auf [0,L] eine Umkehrfunktion $s [mm] \to [/mm] t(s)$
Die Par. des Weges nach der Bogenlänge ist dann gegeben durch
[mm] $c_1(s):=c(t(s))$
[/mm]
Dann ist nach der Kettenregel:
[mm] $c_1'(s)= [/mm] c'(t(s))*t'(s)$
FRED
>
> Gruss
> Igor
|
|
|
|
