Parametrisierung von Kurven < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Do 16.09.2010 | | Autor: | wolle238 |
| Aufgabe | Gegeben Sie eine Parametrisierung der durch
[mm] \{ (x,y,z) \in \IR : x = y^4 + 2y^2z^2 + z^4, y^2 + z^2 = 1, z \geq 0 \} [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
gegebenen Kurve an und berechnen Sie ihre Bogenlänge. |
Hallo!
So wie ich die Aufgabe verstehe, soll ich eine Funktion der Art $c : [a,b] \rightarrow \IR^3$ finden, die die Eigenschaften von oben erfüllt, oder?
Mit $x = y^4 + 2 y^2z^2 + z^4 = (y^2 + z^2)^2 = 1^2 = 1$ und $y = \sqrt{1 - z^2}$ folgt ja im Prinzip:
$c: [0,1] \rightarrow \IR^3, c(t) = \vektor{1 \\ \sqrt{1 - t^2} \\ t}$.
Wäre das dann schon eine Parameterdarstellung von der Kurve??
Wenn ich jetzt davon ausgehe, dass die Darstellung richtig ist, kann ich doch die Bogenlänge auf die gewohnte Art berechnen, oder?
$L(c) = \integral_0^1 { \begin{Vmatrix} \overset{\circ}{c} \end{Vmatrix} dt = \integral_0^1 \begin{Vmatrix} \vektor{ 0 \\ - \frac{t}{\sqrt{1 - t^2}} \\ 1 } \end{Vmatrix} dt = ???$
Irgendwie komme ich nicht weiter und bezweifle auch, dass meine Parameterdarstellung falsch ist... Hoffe mir kann jemand dabei helfen!!
LG
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Hallo wolle328,
> Gegeben Sie eine Parametrisierung der durch
> [mm]\{ (x,y,z) \in \IR : x = y^4 + 2y^2z^2 + z^4, y^2 + z^2 = 1, z \geq 0 \}[/mm]
>
> gegebenen Kurve an und berechnen Sie ihre Bogenlänge.
> Hallo!
>
> So wie ich die Aufgabe verstehe, soll ich eine Funktion der
> Art [mm]c : [a,b] \rightarrow \IR^3[/mm] finden, die die
> Eigenschaften von oben erfüllt, oder?
> Mit [mm]x = y^4 + 2 y^2z^2 + z^4 = (y^2 + z^2)^2 = 1^2 = 1[/mm] und
> [mm]y = \sqrt{1 - z^2}[/mm] folgt ja im Prinzip:
> [mm]c: [0,1] \rightarrow \IR^3, c(t) = \vektor{1 \\ \sqrt{1 - t^2} \\ t}[/mm].
Wähle hier besser:
[mm]c\left(t\right)=\vektor{1 \\ t \\ \wurzel{1 - t^2} }, \ -1 \le t \le 1[/mm]
>
> Wäre das dann schon eine Parameterdarstellung von der
> Kurve??
>
> Wenn ich jetzt davon ausgehe, dass die Darstellung richtig
> ist, kann ich doch die Bogenlänge auf die gewohnte Art
> berechnen, oder?
Ja.
>
> [mm]L(c) = \integral_0^1 { \begin{Vmatrix} \overset{\circ}{c} \end{Vmatrix} dt = \integral_0^1 \begin{Vmatrix} \vektor{ 0 \\ - \frac{t}{\sqrt{1 - t^2}} \\ 1 } \end{Vmatrix} dt = ???[/mm]
So, bekommst Du die halbe Bogenlänge der Kurve,
da Du den Fall y < 0 nicht berücksichtigt hast.
Daher ist obige Parameterdarstellung sinnvoller.
Damit ergibt sich dann:
[mm]L(c) = \integral_{-1}^ {1} { \begin{Vmatrix} \overset{\circ}{c} \end{Vmatrix} dt[/mm]
Bei der Auswertung des Integrals mußt Du, weil der Integrand für [mm]t=\pm 1[/mm] nicht definiert ist, folgendes berechnen:
[mm]=\limes_{\epsilon \rightarrow 1}\integral_{-\epsilon}^ {\epsilon} { \begin{Vmatrix} \overset{\circ}{c} \end{Vmatrix} dt[/mm]
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> Irgendwie komme ich nicht weiter und bezweifle auch, dass
> meine Parameterdarstellung falsch ist... Hoffe mir kann
> jemand dabei helfen!!
>
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Do 16.09.2010 | | Autor: | wolle238 |
Also ist meine Parameterdarstellung richtig?? ($0 [mm] \leq [/mm] t [mm] \leq [/mm] 1$ passt schon, da in der Aufgabe ja steht $z [mm] \geq [/mm] 0$ und ich deswegen am Anfang nach $y$ umgeformt hatte).
Okay...
Aber wie berechne ich denn jetzt das Integral?? Also was erhalte ich für [mm] $\int \begin{Vmatrix} \vektor{ 0 \\ - \frac{t}{\sqrt{1 - t^2}} \\ 1 } \end{Vmatrix} [/mm] dt$ (Ohne Betrachtung der Grenzen, aber Limes ist klar...). Da in der Norm noch noch der Faktor $t$ enthalten ist, komme ich nicht weiter... Eigentlich bräuchte ich doch ne Funktion für die Norm, oder?
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Hallo wolle328,
> Also ist meine Parameterdarstellung richtig?? ([mm]0 \leq t \leq 1[/mm]
> passt schon, da in der Aufgabe ja steht [mm]z \geq 0[/mm] und ich
> deswegen am Anfang nach [mm]y[/mm] umgeformt hatte).
> Okay...
>
> Aber wie berechne ich denn jetzt das Integral?? Also was
> erhalte ich für [mm]\int \begin{Vmatrix} \vektor{ 0 \\ - \frac{t}{\sqrt{1 - t^2}} \\ 1 } \end{Vmatrix} dt[/mm]
> (Ohne Betrachtung der Grenzen, aber Limes ist klar...). Da
> in der Norm noch noch der Faktor [mm]t[/mm] enthalten ist, komme ich
> nicht weiter... Eigentlich bräuchte ich doch ne Funktion
> für die Norm, oder?
In dem Fall ist es die euklidische Norm:
[mm]\begin{Vmatrix} \vektor{ 0 \\ - \frac{t}{\sqrt{1 - t^2}} \\ 1 } \end{Vmatrix}=\wurzel{0^2+\left(- \frac{t}{\sqrt{1 - t^2}}\right)^{2}+1^{2}}=\bruch{1}{\wurzel{1-t^{2}}}[/mm]
Das musst Du jetzt integrieren.
Gruss
MathePower
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