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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 So 05.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ich frage mich gerade, ob man für die Dichte der Paretoverteilung
[mm] $f(x)=\theta\alpha^{\theta}x^{-(\theta +1)}\cdot\chi_{(\alpha,\infty)}, \theta [/mm] > 0, [mm] \alpha [/mm] > 0$
eine Exponentialfamiliendarstellung finden kann. |
Das geht doch nur, wenn man [mm] $\alpha$ [/mm] als bekannt voraussetzt, oder? Denn andernfalls hinge doch der Träger von [mm] $\alpha$ [/mm] ab und das bedeutet ja, daß es dann keine Exponentialfamiliendarstellung gibt.
Wenn ich also [mm] $\alpha$ [/mm] als bekannt voraussetze, so wäre meine Idee, die Dichte zu logarithmieren und habe dann:
[mm] $\log(f(x))=\log(\theta)+\theta\log(\alpha)-(\theta +1)\log(x)$
[/mm]
Ziel ist es ja eine Darstellung der Form
[mm] $f(x)=\exp\left\{a(\theta)b(x)+c(\theta)+d(x)\right\}$
[/mm]
zu finden und das ist doch jetzt bereits gefunden, nämlich
[mm] $a(\theta)=-(\theta [/mm] +1)$
[mm] $b(x)=\log(x)$
[/mm]
[mm] $c(\theta)=\log(\theta)+\theta\log(\alpha)$
[/mm]
$d(x)=0$
Sehe ich das so richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 So 05.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Oder ist das so, daß hier der Träger unabhängig von beiden Parametern sein muss, damit man eine Exponentialfamilie vorliegen hat?
Hier hängt ja der Träger auch von [mm] $\alpha$ [/mm] ab, wenn man [mm] $\alpha$ [/mm] als bekannt voraussetzt, da habe ich oben wohl einen Denkfehler gemacht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 So 05.02.2012 | | Autor: | Blech |
Nein, hast Du nicht.
Wenn [mm] $\alpha$ [/mm] bekannt und fest ist, dann ist [mm] $\alpha$ [/mm] kein Parameter im hier verwendeten Sinne mehr.
Du kannst Dir in Gedanken vorstellen, daß Du die [mm] Pareto$\alpha$-Verteilung [/mm] betrachtest, die eine eigene Verteilung aus der exponentiellen Familie ist und was anderes als die [mm] Pareto$\alpha_1$-Verteilung [/mm] (auch exp. Fam.) und was total und völlig anderes als die [mm] Pareto($\alpha,\theta$) [/mm] Verteilung, die nicht exp. Fam. ist und mit der sie überhaupt nix zu tun hat... =)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 So 05.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Dann habe ich aber eine weitere Frage.
Der sog. kanonische Parameter ist ja dann
[mm] $\Psi=a(\theta)=-(\theta [/mm] + 1)$
Was ist die Umkehrfunktion von [mm] $a(\theta)$?
[/mm]
Ich komme irgendwie darauf nicht, brauche aber die Umkehrfunktion, um eine Funktion [mm] $h(\Psi)=-c(\theta)$ [/mm] zu bestimmen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 So 05.02.2012 | | Autor: | Blech |
Du kannst hier einfach anders gruppieren:
[mm] $\log(\theta)+\theta\log(\alpha)-(\theta +1)\log(x) [/mm] =$
[mm] $=\theta\log\frac [/mm] 1x + [mm] \log(\theta)+\theta\log(\alpha) +\log\frac [/mm] 1x$
und hast sofort die kanonische Form.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 So 05.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Vielleicht meinen wir was Verschiedenes?
Wir hatten immer damit die Darstellung
[mm] $\Psi b(x)-h(\Psi)+d(x)$
[/mm]
gemeint.
Und ich wollte halt jetzt [mm] $h(\Psi)$ [/mm] bestimmen.
[mm] $h(\Psi)=-c(\theta)$
[/mm]
Jetzt wollte ich [mm] $\theta=a^{-1}(\Psi)$ [/mm] berechnen und dann da einsetzen bei c.
Aber ich komme, wie gesagt, auf die Umkehrfkt. von a nicht.
Edit: Ich habe jetzt gerechnet und komme auf
[mm] $h(\Psi)=-\log(-(\Psi+1))+(\Psi+1)\log(\alpha)$ [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:53 So 05.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Es gilt doch
[mm] $a^{-1}(\Psi)=-(\Psi [/mm] + 1)$?
Jetzt lass' mich doch nicht auf halber Strecke verhungern. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 So 05.02.2012 | | Autor: | Blech |
Ja.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 So 05.02.2012 | | Autor: | Blech |
???
$ [mm] \theta\underbrace{\log\frac 1x}_{b(x)} +\underbrace{ \log(\theta)+\theta\log(\alpha) }_{h(\theta)}+\underbrace{\log\frac 1x}_{d(x)} [/mm] $
ist doch genau in der Form.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 So 05.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ich glaube ich bin gerade blind.
Ich sehe die Übereinstimmung nicht.
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Nochmal eine andere Frage.
Normalerweise ist es ja so, wenn ich die Funktion [mm] $h(\Psi)$ [/mm] ableite nach [mm] $\Psi$ [/mm] so erhält man den Erwartungswert, wenn man die zweite Ableitung bildet die Varianz.
Der Erwartungswert der Pareto-Verteilung ist ja
[mm] $\theta\alpha/(\theta [/mm] - 1)$
Wenn ich das h aber jetzt ableite, so erhalte ich ein anderes Resultat.
Liegt das daran, daß ich [mm] $\alpha$ [/mm] als bekannt voraussetze oder anders gefragt:
Würde dieser Erwartungswert nur dann herauskommen, wenn es eine Exponentialfamiliendarstellung für beide Parameter gäbe? Und so kommt notwendigerweise was Anderes heraus, weil ich ja nur noch einen Parameter habe?
Danke für die bisherige Geduld.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 So 05.02.2012 | | Autor: | Blech |
> Ich glaube ich bin gerade blind.
> Ich sehe die Übereinstimmung nicht.
Ja, der Schlauch ist groß... =)
$ [mm] \Psi b(x)-h(\Psi)+d(x) [/mm] $
$ [mm] \theta\underbrace{\log\frac 1x}_{b(x)} -\underbrace{(- \log(\theta)-\theta\log(\alpha)) }_{h(\theta)}+\underbrace{\log\frac 1x}_{d(x)} [/mm] $
setz mal [mm] $\Psi=\theta$. [/mm] Findest Du da nicht eine leichte Übereinstimmung. =P
Vielleicht meinst Du die verschiedenen b, h und d. Aber weil wir unterschiedliche Parameter benutzen [mm] ($\theta$ [/mm] vs. [mm] $-(\theta+1)$), [/mm] sind die 3 Funktionen natürlich unterschiedlich.
> Normalerweise ist es ja so, wenn ich die Funktion $ [mm] h(\Psi) [/mm] $ ableite nach $ [mm] \Psi [/mm] $ so erhält man den Erwartungswert,
den Erwartungswert von *b(X)*.
[mm] $\frac d{d\theta}h(\theta)=E(b(X))$
[/mm]
ciao
Stefan
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:53 So 05.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Achja, natürlich: der Erwartungswert von $b(x)$...
Ich hatte das durcheinander gebracht, weil ich mir die Exponentialfamilie der Poissonverteilung angesehen habe und dort ist die Funktion $b(x)$ gegeben als Identität.
Also kam bei der Ableitung von [mm] $h(\Psi)$ [/mm] natürlich der Erwartungswert von der Verteilung selbst heraus. Und ich Schussel hab daraus geschlossen, daß immer der Erwartungswert der Verteilung rauskommt...
Ein dummer Fehler.
Also: [mm] $h(\Psi)$ [/mm] ist also im Wesentlichen die kumulanten-erzeugende Funktion der Funktion $b(x)$ und in dem Fall, daß $b(x)=x$ eben auch die kumulanten-erzeugende Funktion der Verteilung von X selbst.
So jetzt korrekt kapiert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 07.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:24 Di 07.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
War das jetzt richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 So 05.02.2012 | | Autor: | Blech |
Ja, das tust Du. =)
ciao
Stefan
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