Part. Abl. Logarithmusfunktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Mo 11.04.2011 | | Autor: | Bellona |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung
folgender Funktionen:
z = [mm] ln(x^{(xy)}) [/mm] |
Hallo,
leider bin ich bei der Aufgabe sehr unsicher, ob ich das richtig rechne, vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen.
Ich habe folgende Rechnung durchgeführt:
[mm] \bruch{\delta f}{\delta x} [/mm] = [mm] \bruch {1}{x^{xy}} [/mm] * [mm] xy*x^{(xy-1)} [/mm]
= [mm] \bruch {1}{x^{xy}} [/mm] * [mm] xy*x^{xy}*x^{-1}
[/mm]
= [mm] \bruch {1}{x^{xy}} [/mm] * [mm] \bruch {xy*x^{xy}}{x}
[/mm]
= [mm] \bruch {xy*x^{xy}}{x*x^{xy}}
[/mm]
= y
Irgendwie erscheint es mir aber merkwürdig, dass nur y übrig bleibt, denn so wäre die Ableitung zweiter Ordnung ja einfach [mm] \bruch {\delta f}{\delta x \delta y} [/mm] = 0
Wäre gut, wenn mir jemand bis Donnerstagabend helfen könnte.
Gruss,
Bellona
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo bellona,
> Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen erster und
> zweiter Ordnung
> folgender Funktionen:
>
> z = [mm]ln(x^{(xy)})[/mm]
> Hallo,
>
> leider bin ich bei der Aufgabe sehr unsicher, ob ich das
> richtig rechne, vielleicht kann mir da jemand
> weiterhelfen.
Vorab: es empfiehlt sich, vor dem Ableiten die einschlägigen Logarithmusregeln anzuwenden.
Hier [mm]\log_b\left(a^m\right)=m\cdot{}\log_b(a)[/mm]
Also [mm]\ln\left(x^{xy}\right)=xy\ln(x)[/mm]
Das macht das Ableiten doch wesentlich einfacher ...
> Ich habe folgende Rechnung durchgeführt:
>
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x}[/mm] = [mm]\bruch {1}{x^{xy}}[/mm] * [mm]xy*x^{(xy-1)}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es steht doch die Variable, nach der du ableitest auch im Exponenten, da kannst du die Potenzregel vergessen!
Wie leitet man [mm]x^x[/mm] nach [mm]x[/mm] ab?
Man schreibt es um in [mm]x^x=e^{\ln\left(x^x\right)}=e^{x\ln(x)}[/mm] und benutzt die Kettenregel.
> = [mm]\bruch {1}{x^{xy}}[/mm] * [mm]xy*x^{xy}*x^{-1}[/mm]
> = [mm]\bruch {1}{x^{xy}}[/mm] * [mm]\bruch {xy*x^{xy}}{x}[/mm]
> = [mm]\bruch {xy*x^{xy}}{x*x^{xy}}[/mm]
>
> = y
>
> Irgendwie erscheint es mir aber merkwürdig, dass nur y
> übrig bleibt, denn so wäre die Ableitung zweiter Ordnung
> ja einfach [mm]\bruch {\delta f}{\delta x \delta y}[/mm] = 0
Du musst nochmal nachrechnen, welche Variante von z du dabei nimmst, ist dir überlassen ...
Mit vorheriger Anwendung der Loggsetze geht's ratz fatz ...
>
> Wäre gut, wenn mir jemand bis Donnerstagabend helfen
> könnte.
>
> Gruss,
>
> Bellona
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Mo 11.04.2011 | | Autor: | Bellona |
Danke für die rasche Antwort.
Ableitungsregeln für den Logarithmus habe ich mir angeschaut gehabt, die waren bei mir nämlich schon leicht eingerostet, allerdings bin ich von der Verkettung einer Funktion mit der Logarithmusfunktion ausgegangen und habe so gerechnet:
f(x) = ln(g(x))
f'(x) = [mm] \bruch [/mm] {1}{g(x)} * g'(x).
Ich hab den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen und daher versäumt die Logarithmusfunktion zu vereinfachen. >.<
Und mit [mm] x^{x} [/mm] hatte ich auch Probleme, hatte ich noch nie gerechnet, danke für die Erklärung. :)
Mit z = xy * ln (x) gehts wirklich wesentlich einfacher, mein Ergebnis ist da jetzt:
[mm] \bruch{\delta f}{\delta x} [/mm] = y * ln (x) + xy * [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
= y * ln (x) + xy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Mo 11.04.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bellona!
> Mit z = xy * ln (x) gehts wirklich wesentlich einfacher,
> mein Ergebnis ist da jetzt:
>
> [mm]\bruch{\delta f}{\delta x}[/mm] = y * ln (x) + xy * [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Soweit richtig.
> = y * ln (x) + xy
Hier stimmt der letzte Term nicht: das $x_$ ist zuviel.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Mo 11.04.2011 | | Autor: | Bellona |
Ja klar, ich hatte es auf meinem Schmierblatt auch richtig, nur falsch abgeschrieben. :)
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