Part. Ableitungen+diffbar? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR^2->\IR [/mm] eine differenzierbare Funktion mit f(0,1)=2 und sei g(x,y)=xf(x,y)
(a) Berechnen sie [mm] \partial_{1}g(0,1) [/mm] und [mm] \partial_{2}g(0,1)
[/mm]
Sei nun [mm] f:\IR^2->\IR [/mm] eine stetige Funktion mit f(0,1)=2 und sei g(x,y)=xf(x,y)
(b) Existieren [mm] \partial_{1}g(0,1) [/mm] und [mm] \partial_{2}g(0,1) [/mm] ?
(c) Ist g diffbar in (0,1) |
So, schreibe nun mal meine Ideen auf und dann kann einer ma schauen, ob das so richtig ist.
Zu (a) Weil g Produkt diffbarer Funktionen ist, kann man einfach die Produktregel anwenden
[mm] \partial_{1}g(0,1)=f(0,1)+0(\partial_{1}f(0,1))=2
[/mm]
[mm] \partial_{2}g(0,1)=0(f(0,1))+0(\partial_{2}(0,1))=0
[/mm]
Zu (b) Da f nur die Voraussetzung "stetig" besitzt, müssen wir die partiellen Ableitungen nach Definition suchen
[mm] \partial_{1}g(0,1)=\limes{h\rightarrow 0} \bruch{g(h,1)-g(0,1)}{h}
[/mm]
Wir wissen g(0,1)=0f(0,1) und g(h,1)=hf(h,1)
Also [mm] =\limes{h\rightarrow 0} \bruch{hf(0,1)}{h}=\limes{h\rightarrow 0} [/mm] f(h,1)=2
Für [mm] \partial_{2}g(0,1) [/mm] bekommt man analog mit Definition Null.
So, zu (c): Also die partiellen Ableitungen existieren, dann muss man prüfen, ob folgendes gilt:
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,1)} \bruch{\parallel g(x,y)-g(0,1)-\vektor{0 \\ 2}\vektor{x-0 \\ y-2} \parallel}{\parallel \vektor{x-0 \\ y-2} \parallel\ }=0
[/mm]
Also durch einsetzen sieht man ja, dass es Null wird. Muss man das noch genauer aufschreiben. Hat da einer eine Idee?
So, das sind meine Ansätze:
Es wäre sehr nett, wenn man einer drübergucken könnte.
Vielen Dank
Mit freundlichen Grüßen
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Di 24.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]f:\IR^2->\IR[/mm] eine differenzierbare Funktion mit
> f(0,1)=2 und sei g(x,y)=xf(x,y)
> (a) Berechnen sie [mm]\partial_{1}g(0,1)[/mm] und
> [mm]\partial_{2}g(0,1)[/mm]
>
> Sei nun [mm]f:\IR^2->\IR[/mm] eine stetige Funktion mit f(0,1)=2 und
> sei g(x,y)=xf(x,y)
> (b) Existieren [mm]\partial_{1}g(0,1)[/mm] und [mm]\partial_{2}g(0,1)[/mm]
> ?
> (c) Ist g diffbar in (0,1)
> So, schreibe nun mal meine Ideen auf und dann kann einer
> ma schauen, ob das so richtig ist.
>
> Zu (a) Weil g Produkt diffbarer Funktionen ist, kann man
> einfach die Produktregel anwenden
> [mm]\partial_{1}g(0,1)=f(0,1)+0(\partial_{1}f(0,1))=2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\partial_{2}g(0,1)=0(f(0,1))+0(\partial_{2}(0,1))=0[/mm]
Also das Ergebnis stimmt, aber das was du dazwischen aufgeschrieben hast eher nicht...
> Zu (b) Da f nur die Voraussetzung "stetig" besitzt, müssen
> wir die partiellen Ableitungen nach Definition suchen
> [mm]\partial_{1}g(0,1)=\limes{h\rightarrow 0} \bruch{g(h,1)-g(0,1)}{h}[/mm]
>
> Wir wissen g(0,1)=0f(0,1) und g(h,1)=hf(h,1)
> Also [mm]=\limes{h\rightarrow 0} \bruch{hf(0,1)}{h}=\limes{h\rightarrow 0}[/mm]
> f(h,1)=2
> Für [mm]\partial_{2}g(0,1)[/mm] bekommt man analog mit Definition
> Null.
> So, zu (c): Also die partiellen Ableitungen existieren,
> dann muss man prüfen, ob folgendes gilt:
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,1)} \bruch{\parallel g(x,y)-g(0,1)-\vektor{0 \\ 2}\vektor{x-0 \\ y-2} \parallel}{\parallel \vektor{x-0 \\ y-2} \parallel\ }=0[/mm]
Nein! Du meinst [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,1)} \bruch{\parallel g(x,y)-g(0,1)-\vektor{{\red 2} \\ {\red 0}}\vektor{x-0 \\ y-{\red 1}} \parallel}{\parallel \vektor{x-0 \\ y-{\red 1}} \parallel\ }=0[/mm]
> Also durch einsetzen sieht man ja, dass es Null wird.
Wo siehst du das?
> Muss man das noch genauer aufschreiben. Hat da einer eine Idee?
Du musst [mm] $\lim_{(x, y) \to (0, 1)} \frac{|x f(x, y) - 2 x|}{\sqrt{x^2 + (y - 1)^2}} [/mm] = 0$ zeigen.
Schaetze den Bruch nach oben durch $|f(x, y) - 2|$ ab.
LG Felix
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Erstmal vielen Dank für deine Hilfe
> Moin!
>
> > Sei [mm]f:\IR^2->\IR[/mm] eine differenzierbare Funktion mit
> > f(0,1)=2 und sei g(x,y)=xf(x,y)
> > (a) Berechnen sie [mm]\partial_{1}g(0,1)[/mm] und
> > [mm]\partial_{2}g(0,1)[/mm]
> >
> > Sei nun [mm]f:\IR^2->\IR[/mm] eine stetige Funktion mit f(0,1)=2 und
> > sei g(x,y)=xf(x,y)
> > (b) Existieren [mm]\partial_{1}g(0,1)[/mm] und
> [mm]\partial_{2}g(0,1)[/mm]
> > ?
> > (c) Ist g diffbar in (0,1)
> > So, schreibe nun mal meine Ideen auf und dann kann
> einer
> > ma schauen, ob das so richtig ist.
> >
> > Zu (a) Weil g Produkt diffbarer Funktionen ist, kann man
> > einfach die Produktregel anwenden
> > [mm]\partial_{1}g(0,1)=f(0,1)+0(\partial_{1}f(0,1))=2[/mm]
>
>
>
> > [mm]\partial_{2}g(0,1)=0(f(0,1))+0(\partial_{2}(0,1))=0[/mm]
>
> Also das Ergebnis stimmt, aber das was du dazwischen
> aufgeschrieben hast eher nicht...
>
Ja super, könntest du mir sagen, wie ich das richtig aufschreibe? Weil ich will es ja verstehen und ich hab nicht so viel davon, dass jetzt grade das richtige Ergebnis herauskommt.
Ich hab doch die Funktion g, sie ist diffbar, weil sie ein Produkt von diffbaren Funktionen ist(x ist diffbar und f nach Definition auch).
Dann kann man g einfach mit der Produktregel ableiten(so wie ich das geschrieben habe)
Was ist daran falsch, was hab ich falsch gemacht? Ist das falsch, was ich geschrieben habe?
> > Zu (b) Da f nur die Voraussetzung "stetig" besitzt, müssen
> > wir die partiellen Ableitungen nach Definition suchen
> > [mm]\partial_{1}g(0,1)=\limes{h\rightarrow 0} \bruch{g(h,1)-g(0,1)}{h}[/mm]
>
> >
> > Wir wissen g(0,1)=0f(0,1) und g(h,1)=hf(h,1)
> > Also [mm]=\limes{h\rightarrow 0} \bruch{hf(0,1)}{h}=\limes{h\rightarrow 0}[/mm]
> > f(h,1)=2
>
>
>
> > Für [mm]\partial_{2}g(0,1)[/mm] bekommt man analog mit Definition
> > Null.
>
>
>
> > So, zu (c): Also die partiellen Ableitungen existieren,
> > dann muss man prüfen, ob folgendes gilt:
> >
> > [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,1)} \bruch{\parallel g(x,y)-g(0,1)-\vektor{0 \\ 2}\vektor{x-0 \\ y-2} \parallel}{\parallel \vektor{x-0 \\ y-2} \parallel\ }=0[/mm]
>
> Nein! Du meinst [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,1)} \bruch{\parallel g(x,y)-g(0,1)-\vektor{{\red 2} \\ {\red 0}}\vektor{x-0 \\ y-{\red 1}} \parallel}{\parallel \vektor{x-0 \\ y-{\red 1}} \parallel\ }=0[/mm]
>
Sorry, stimmt, hab wieder kleine Fehler gemacht.
> > Also durch einsetzen sieht man ja, dass es Null wird.
>
> Wo siehst du das?
>
> > Muss man das noch genauer aufschreiben. Hat da einer eine
> Idee?
>
> Du musst [mm]\lim_{(x, y) \to (0, 1)} \frac{|x f(x, y) - 2 x|}{\sqrt{x^2 + (y - 1)^2}} = 0[/mm]
> zeigen.
>
> Schaetze den Bruch nach oben durch [mm]|f(x, y) - 2|[/mm] ab.
Ok, so ungefähr
[mm]\lim_{(x, y) \to (0, 1)} \frac{|x f(x, y) - 2 x|}{\sqrt{x^2 + (y - 1)^2}} [/mm]= [mm] lim_{(x, y) \to (0, 1)} \bruch{ |x|*|f(x,y)-2|}{\sqrt{x^2 + (y - 1)^2}}>(gleich)lim_{(x, y) \to (0, 1)}{|f(x,y)-2|}
[/mm]
Und dann mit Einschließungslemma?
Ich freue mich über jede Hilfe
Vielen lieben Dank
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Do 26.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Zu (a) Weil g Produkt diffbarer Funktionen ist, kann man
> > > einfach die Produktregel anwenden
> > > [mm]\partial_{1}g(0,1)=f(0,1)+0(\partial_{1}f(0,1))=2[/mm]
> >
> >
> >
> > > [mm]\partial_{2}g(0,1)=0(f(0,1))+0(\partial_{2}(0,1))=0[/mm]
> >
> > Also das Ergebnis stimmt, aber das was du dazwischen
> > aufgeschrieben hast eher nicht...
> >
> Ja super, könntest du mir sagen, wie ich das richtig
> aufschreibe? Weil ich will es ja verstehen und ich hab
> nicht so viel davon, dass jetzt grade das richtige Ergebnis
> herauskommt.
Schau es dir doch einfach mal an. Dann sollte dir auffallen, dass [mm] $\partial_2 [/mm] (0, 1)$ keinen Sinn macht.
> Ich hab doch die Funktion g, sie ist diffbar, weil sie ein
> Produkt von diffbaren Funktionen ist(x ist diffbar und f
> nach Definition auch).
> Dann kann man g einfach mit der Produktregel ableiten(so
> wie ich das geschrieben habe)
Ja. Und die Ableitung von x ist 0 und der Funktionswert bei $(0, 1)$ auch.
> Was ist daran falsch, was hab ich falsch gemacht? Ist das
> falsch, was ich geschrieben habe?
Du hast nichts falsch gemacht. Nur das was du aufgeschrieben hast stimmt nicht. Siehe oben.
> > Du musst [mm]\lim_{(x, y) \to (0, 1)} \frac{|x f(x, y) - 2 x|}{\sqrt{x^2 + (y - 1)^2}} = 0[/mm]
> > zeigen.
> >
> > Schaetze den Bruch nach oben durch [mm]|f(x, y) - 2|[/mm] ab.
> Ok, so ungefähr
> [mm]\lim_{(x, y) \to (0, 1)} \frac{|x f(x, y) - 2 x|}{\sqrt{x^2 + (y - 1)^2}} [/mm]=
> [mm]lim_{(x, y) \to (0, 1)} \bruch{ |x|*|f(x,y)-2|}{\sqrt{x^2 + (y - 1)^2}}>(gleich)lim_{(x, y) \to (0, 1)}{|f(x,y)-2|}[/mm]
Das geht so nicht, du hast den Bruch nach unten abgeschaetzt. Es gilt $0 [mm] \le \frac{|x f(x, y) - 2 x|}{\sqrt{x^2 + (y - 1)^2}} \le [/mm] |f(x, y) - 2|$. Zeige das erstmal!
> Und dann mit Einschließungslemma?
Wenn das besagt, dass aus [mm] $a_n \le b_n \le c_n$ [/mm] und [mm] $\lim a_n [/mm] = [mm] \lim c_n$ [/mm] folgt [mm] $\lim a_n [/mm] = [mm] \lim b_n [/mm] = [mm] \lim c_n$, [/mm] dann ja.
LG Felix
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> Moin!
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> > > > Zu (a) Weil g Produkt diffbarer Funktionen ist, kann man
> > > > einfach die Produktregel anwenden
> > > >
> [mm]\partial_{1}g(0,1)=f(0,1)+0(\partial_{1}f(0,1))=2[/mm]
> > >
> > >
> > >
> > > > [mm]\partial_{2}g(0,1)=0(f(0,1))+0(\partial_{2}(0,1))=0[/mm]
> > >
> > > Also das Ergebnis stimmt, aber das was du dazwischen
> > > aufgeschrieben hast eher nicht...
> > >
> > Ja super, könntest du mir sagen, wie ich das richtig
> > aufschreibe? Weil ich will es ja verstehen und ich hab
> > nicht so viel davon, dass jetzt grade das richtige Ergebnis
> > herauskommt.
>
> Schau es dir doch einfach mal an. Dann sollte dir
> auffallen, dass [mm]\partial_2 (0, 1)[/mm] keinen Sinn macht.
>
Sorry stimmt, ich meinte [mm] \partial_2 [/mm] f(0,1)
So, also für [mm] \partial_2 [/mm] g(0,1) leite ich g nach der Produktregel ab, also
0(x nach y abgeleitet) mal f(0,1) + 0(weil x=0) mal [mm] \partial_2 [/mm] f(0,1)(also f(0,1) nach y abgeleitet) und das ist ja 0
Ist das nun richtig aufgeschrieben und wenn nicht, könnte mir einer sagen, wie die richtige Ableitung heißt.
Wäre sehr nett.
> Das geht so nicht, du hast den Bruch nach unten
> abgeschaetzt. Es gilt [mm]0 \le \frac{|x f(x, y) - 2 x|}{\sqrt{x^2 + (y - 1)^2}} \le |f(x, y) - 2|[/mm].
> Zeige das erstmal!
Ok, danke, das versuche ich mal.
So, wäre sehr nett, wenn mir einer helfen könnte bei Aufgabe (a), also ob meine Ableitungen richtig sind.
Vielen Dank
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Fr 27.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > > > Zu (a) Weil g Produkt diffbarer Funktionen ist, kann man
> > > > > einfach die Produktregel anwenden
> > > > >
> > [mm]\partial_{1}g(0,1)=f(0,1)+0(\partial_{1}f(0,1))=2[/mm]
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > > [mm]\partial_{2}g(0,1)=0(f(0,1))+0(\partial_{2}(0,1))=0[/mm]
> > > >
> > > > Also das Ergebnis stimmt, aber das was du dazwischen
> > > > aufgeschrieben hast eher nicht...
> > > >
> > > Ja super, könntest du mir sagen, wie ich das richtig
> > > aufschreibe? Weil ich will es ja verstehen und ich hab
> > > nicht so viel davon, dass jetzt grade das richtige Ergebnis
> > > herauskommt.
> >
> > Schau es dir doch einfach mal an. Dann sollte dir
> > auffallen, dass [mm]\partial_2 (0, 1)[/mm] keinen Sinn macht.
> >
> Sorry stimmt, ich meinte [mm]\partial_2[/mm] f(0,1)
> So, also für [mm]\partial_2[/mm] g(0,1) leite ich g nach der
> Produktregel ab, also
> 0(x nach y abgeleitet) mal f(0,1) + 0(weil x=0) mal
> [mm]\partial_2[/mm] f(0,1)(also f(0,1) nach y abgeleitet) und das
> ist ja 0
>
> Ist das nun richtig aufgeschrieben und wenn nicht, könnte
> mir einer sagen, wie die richtige Ableitung heißt.
> Wäre sehr nett.
Ja, das ist so richtig. Es geht aber auch einfacher: da du nicht nach $x$ ableitest, ist $x$ eine Konstante, womit [mm] $\partial_2 [/mm] (x f(x, y)) = x [mm] \partial_2 [/mm] f(x, y)$ ist.
LG Felix
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Vielen Dank
TheBozz-mismo
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