Partialbruchentw. Cotangens < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 Mi 21.01.2009 | | Autor: | MacMath |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Wir sollen diese Aussage mit der Partialbruchentwicklung des Cotangens zeigen.
Ich "sehe" ansatzweise wohin ich möchte, komme aber nicht wirklich weiter.
Ich habe durch
[mm]\left(\pi cot(\pi z)\right)^2=\left(\bruch{\pi cos(\pi z)}{sin(\pi z)} \right)^2=\left( \bruch{\pi}{sin(\pi z)} \right)^2*{cos^2(\pi z)[/mm]
etwas Ählichkeit erzeugt, aber komme mit Umformen nicht weiter, mein größtes Problem ist das Quadrat.
Gruß Daniel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Mi 21.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Wenn ich Dich richtig verstanden habe, darfst Du die Partialbruchzerlegung von Kotangens verwenden.
Diese lautet:
$ [mm] \pi cot(\pi [/mm] z) = [mm] \bruch{1}{z} [/mm] + [mm] \summe_{n= - \infty}^{-1}( \bruch{1}{z+n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] + [mm] \summe_{n= 1}^{\infty}( \bruch{1}{z+n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ) $
für z $ [mm] \in \IC [/mm] $ \ $ [mm] \IZ [/mm] $
Wenn Du nun
$(cot z)' = -(sin [mm] z)^{-2}$
[/mm]
beachtest, erhälst Du das Gewünschte.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Mi 21.01.2009 | | Autor: | MacMath |
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> [mm]\pi cot(\pi z) = \bruch{1}{z} + \summe_{n= - \infty}^{-1}( \bruch{1}{z+n} - \bruch{1}{n}) + \summe_{n= 1}^{\infty}( \bruch{1}{z+n} - \bruch{1}{n} )[/mm]
>
>
> für z [mm]\in \IC[/mm] \ [mm]\IZ[/mm]
>
Ja, nach etwas umformen stimmt das mit unserem Script überein
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> Wenn Du nun
>
>
> [mm](cot z)' = -(sin z)^{-2}[/mm]
>
> beachtest, erhälst Du das Gewünschte.
Tut mir leid ich versteh nicht ganz was mir die Ableitung hier bringt. Mein Problem bestand ja darin, dass ich ein Quadrat habe, und wenn ich dort die Summe einsetze kommt ein sehr umständlicher Term heraus der nicht danach aussieht als würde er was bringen.
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>
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Mi 21.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Es gilt:
[mm] (\bruch{\pi}{sin(\pi z)})^2 [/mm] =
$( [mm] \pi cot(\pi [/mm] z))' = [mm] (\bruch{1}{z} [/mm] + [mm] \summe_{n= - \infty}^{-1}( \bruch{1}{z+n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] + [mm] \summe_{n= 1}^{\infty}( \bruch{1}{z+n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ))' $
und
[mm] $(\bruch{1}{z} [/mm] + [mm] \summe_{n= - \infty}^{-1}( \bruch{1}{z+n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] + [mm] \summe_{n= 1}^{\infty}( \bruch{1}{z+n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ))' $
erhälst Du durch gliedweise Differentiation (wegen der lokal gleichmäßigen Konvergenz)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Do 22.01.2009 | | Autor: | MacMath |
> Es gilt:
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> [mm](\bruch{\pi}{sin(\pi z)})^2[/mm] =
> [mm]( \pi cot(\pi z))' = (\bruch{1}{z} + \summe_{n= - \infty}^{-1}( \bruch{1}{z+n} - \bruch{1}{n}) + \summe_{n= 1}^{\infty}( \bruch{1}{z+n} - \bruch{1}{n} ))'[/mm]
>
ich komme auf
[mm]-(\bruch{\pi}{sin(\pi z)})^2[/mm] =
[mm]( \pi cot(\pi z))'[/mm] kann das sein?
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Hallo MacMath,
> > Es gilt:
> >
> > [mm](\bruch{\pi}{sin(\pi z)})^2[/mm] =
> > [mm]( \pi cot(\pi z))' = (\bruch{1}{z} + \summe_{n= - \infty}^{-1}( \bruch{1}{z+n} - \bruch{1}{n}) + \summe_{n= 1}^{\infty}( \bruch{1}{z+n} - \bruch{1}{n} ))'[/mm]
> >
>
> ich komme auf
>
> [mm]-(\bruch{\pi}{sin(\pi z)})^2[/mm] =
> [mm]( \pi cot(\pi z))'[/mm] kann das sein?
Ja, das hab ich auch heraus.
Gruß
MathePower
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