Partialbruchzerlegung-Einführ. < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Berechnen Sie das unbestimmte Integral der Funktion f(x) = [mm] \bruch{-4}{x*(x-4)} [/mm] |
Hallo,
wir sollen uns mal in den Ferien die Partialbruchzerlegung angucken , so als Einführung.
Ich habe hier eine Beispielaufgabe mit der oben genannten Funktion , allerdings verstehe ich da einiges nicht:
Die gehen hier so vor :
f(x) = [mm] \bruch{-4}{x*(x-4)}
[/mm]
Nullstellen 0 und 4 , okay verstehe ich noch.
Und jetzt , Teilbruchzerlegung von f :
[mm] \bruch{-4}{x*(x-4)} [/mm] = [mm] \bruch{a}{x} [/mm] + [mm] \bruch{b}{x-4}
[/mm]
Okay warum jetzt die Nenner auf der rechten Seite anders sind , verstehe ich , das sind die Nullstellen von f.
Aber warum ist da ein Plus ? Muss man immer ein Plus hinschreiben ?
Und dann schreibe die hier : Multiplikation mit dem Nenner x*(x-4)
Daraus entsteht folgendes :
-4 = a*(x-4) + b *x
Okay verstehe ich auch noch
Und jetzt : Ordnen anch Potenzen von x
-4 = (a+b) * x -a *4
Koeffizientenvergleich :
a+b = 0
a = 1
Wie kommen die jetzt auf das ?
Und warum muss die Bedingung gelten , dass a mit b addiert Null ergeben soll ? Warum Null ?
Vielen Dank schonmal im Voraus.
Frohe Ostern :D
|
|
| |
|
> Berechnen Sie das unbestimmte Integral der Funktion f(x) =
> [mm]\bruch{-4}{x*(x-4)}[/mm]
> Hallo,
>
> wir sollen uns mal in den Ferien die Partialbruchzerlegung
> angucken , so als Einführung.
>
> Ich habe hier eine Beispielaufgabe mit der oben genannten
> Funktion , allerdings verstehe ich da einiges nicht:
>
> Die gehen hier so vor :
> f(x) = [mm]\bruch{-4}{x*(x-4)}[/mm]
>
> Nullstellen 0 und 4 , okay verstehe ich noch.
>
> Und jetzt , Teilbruchzerlegung von f :
>
> [mm]\bruch{-4}{x*(x-4)}[/mm] = [mm]\bruch{a}{x}[/mm] + [mm]\bruch{b}{x-4}[/mm]
>
> Okay warum jetzt die Nenner auf der rechten Seite anders
> sind , verstehe ich , das sind die Nullstellen von f.
ja
>
> Aber warum ist da ein Plus ? Muss man immer ein Plus
> hinschreiben ?
a und b sind ja zunächst erstmal unbestimmt. Wenn am Ende ein negatives b rauskommt, wird aus dem Plus ein Minus. Der allgemeine Partialbruchansatz sagt aber, dass man immer mit der Form [mm]\bruch{a}{x}[/mm] + [mm]\bruch{b}{x-4}[/mm] beginnen kann.
>
> Und dann schreibe die hier : Multiplikation mit dem Nenner
> x*(x-4)
>
> Daraus entsteht folgendes :
>
> -4 = a*(x-4) + b *x
>
> Okay verstehe ich auch noch
>
> Und jetzt : Ordnen anch Potenzen von x
>
> -4 = (a+b) * x -a *4
>
> Koeffizientenvergleich :
Die Gleichung muss für alle x gelten. Wenn du x=0 einsetzt, erkennst du, dass die konstanten Terme links und rechts gleich sein müssen, also [mm] -4=-4a\Leftrightarrow [/mm] a=1
Und dann kann man sich überlegen, dass auch die Koeffizienten von x links und rechts gleich sein müssen, damit die Gleichung für alle x erfüllt ist. Da links kein x vorkommt, kann man schreiben
0*x $-4=$ (a+b)*x [mm] $-4a\Rightarrow [/mm] 0=a+b$
>
> a+b = 0
> a = 1
> Wie kommen die jetzt auf das ?
>
> Und warum muss die Bedingung gelten , dass a mit b addiert
> Null ergeben soll ? Warum Null ?
>
> Vielen Dank schonmal im Voraus.
>
> Frohe Ostern :D
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 Mo 09.04.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Achsoo , alles klar vielen Dank :D
|
|
|
|
