Partialbruchzerlegung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 So 27.07.2014 | | Autor: | envyme |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \integral {\bruch{7x-15}{x^3-2x^2+5x} dx} [/mm] |
[mm] \integral {\bruch{7x-15}{x^3-2x^2+5x} dx} [/mm] = -3 [mm] \integral {\bruch{1}{x}dx}+ \integral {\bruch{3x+1}{x^2-2x+5}dx} [/mm] kommt nach der Partial bruchzerlegung
Den nächsten Schritt verstehe ich nicht
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Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo envyme,
> Berechnen Sie [mm]\integral {\bruch{7x-15}{x^3-2x^2+5x} dx}[/mm]
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> [mm]\integral {\bruch{7x-15}{x^3-2x^2+5x} dx}[/mm] = -3 [mm]\integral {\bruch{1}{x}dx}+ \integral {\bruch{3x+1}{x^2-2x+5}dx}[/mm]
> kommt nach der Partial bruchzerlegung
> Den nächsten Schritt verstehe ich nicht
>
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Das erste Integral ist kein Problem.
Das Problem liegt wohl an dem zweiten Integral.
Hierbei wurde der Zähler des Integranden wie folgt zerlegt:
[mm]3*x+1=\alpha*\left(x^2-2x+5\right)'+\beta[/mm]
Dabei wurde [mm]\alpha[/mm] so gewählt, daß der lineare Teil
auf der rechten Seite gerade 3x entspricht.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 So 27.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Das ist eine Standardmethode bei Integration durch PBZ bei einfachen, komplexen Polstellen. Außerdem wird hier ökonomischerweise auf das öde explizite Anschreiben einer Substitution mit anschließender Rücksubstitution verzichtet.
Verwendet wird hier
[mm] $\integral{\frac{N'(x)}{N(x)}}dx=ln{|N(x)|} [/mm] +C$,
also der Spezialfall, wenn der Integrand ein Bruch ist und "zufälligerweise" im Zähler die Ableitung des Nennerterms steht. Natürlich könntest du das langwieriger auch mit der Substitution $u=N(x)$ erhalten.
Später (das sieht man auf deinem Bild nicht mehr) wird dann sicher auch noch der einfache Fall der linearen Substitution verwendet und auf den arctan zu kommen
[mm] $\integral{f(a*x+b}dx=\frac{1}{a}*F(a*x+b)+C$,
[/mm]
wobei $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.
Beide genannten "Formel" sind ein Spezialfall von
[mm] $\integral{f(g(x)*g'(x)}dx=F(g(x) [/mm] +C$.
Es ist durchaus nützlich und zeit- und platzsparend, die genannten Regeln parat zu haben und in diesen Fällen auf das explizite Anschreiben einer Substitution zu verzichten.
Und jetzt zur "Bastelstunde":
[mm]\integral {\bruch{3x+1}{x^2-2x+5}dx}[/mm]
Man sieht leicht, dass die Ableitung des Nenners eine lineare Funktion ist und dass im Nenner auch eine ebensolche steht, nur leider mit dem falschen Faktor und Summanden. Diese sind aber nur Skalare, sodass man sich die Ableitung hinbasteln kann und danach schaut, wie man mit dem Rest verfährt. Der erste Schritt besteht darin, den Faktor 3/2 vors Integral zu ziehen, damit wir im Zähler 2x anstelle der 3x erhalten:
[mm]\integral {\bruch{3x+1}{x^2-2x+5}dx}=\frac{3}{2}\integral {\bruch{2x+\frac{2}{3}}{x^2-2x+5}dx}=[/mm]
Jetzt benötigen wir anstelle des Summanden 2/3 den Ausdruck -2, damit wir genau die Ableitung des Nenners da stehen haben, also schreiben wir -2 dazu, korrigieren gleich wieder mit +2 und teilen dann das Integral auf:
[mm]=\frac{3}{2}\integral {\bruch{2x\red{-2+2}+\frac{2}{3}}{x^2-2x+5}dx}=\frac{3}{2}\integral{\bruch{2x-2}{x^2-2x+5}dx+\frac{3}{2}\integral {\bruch{2+\frac{2}{3}}{x^2-2x+5}dx=[/mm]
Das erste Integral ist jetzt gemäß obiger Regel lösbar, im zweiten rechnen wir den Zähler aus und ziehen den Faktor nach vor, das wird noch etwas lästig:
[mm]=\frac{3}{2}*ln\left|{x^2-2x+5}\right|+4*\integral{\frac{1}{x^2-2x+5}}dx[/mm]
Nebenrechnung für das verbleibende Integral, welches ja hoffentlich ein wenig an [mm] $\integral{\frac{1}{x^2+1}}dx=arctan(x)+C$ [/mm] erinnert. Hier ist das Ziel, auf die Form [mm] $\integral{\frac{1}{\left(\alpha*x+\beta\right)^2+1}}dx=\frac{1}{\alpha}*arctan(\alpha*x+\beta)+C$ [/mm] (lineare Substitution, s.o.) zu kommen:
[mm]4*\integral{\frac{1}{x^2-2x+5}}dx=4*\integral{\frac{1}{x^2-2x\red{+1-1}+5}dx=4*\integral{\frac{1}{(x-1)^2+4}dx=[/mm]
[mm]=\frac{4}{4}*\integral{\frac{1}{\frac{(x-1)^2}{4}+\frac{4}{4}}dx=\integral{\frac{1}{\left({\frac{x-1}{2}}\right)^2+1}}dx=2*arctan{\left({\frac{x-1}{2}}\right)}+C[/mm]
Und das wärs auch schon gewesen.
Sieht am Anfang ein wenig erschreckend aus, ist aber immer das gleiche bei einfachen komplexen Nullstellen und man muss es ja auch nicht sooo ausführlich anschreiben.
Gruß RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 So 27.07.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo envyme,
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