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Partialbruchzerlegung: Kontrolle
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:51 Do 09.03.2006
Autor: zaaaq

Aufgabe
  [mm] \integral \bruch{x+2}{x^{3}-2x+x} [/mm]  dx

Und wiedereinmal erhalte ich andere Koeffizienten als in der Lösung.

Und zwar erhalte ich:

A=1
B=-1
C=1

Die Lösung sieht vor:
A=2
B=-2
C=3


Ich habe gerechnet: [mm] A(x^{3}-3x²+3x-1)+B(x^{3}-2x²+x)+C(x²-x) [/mm]

[mm] =(A+B)x^{3}+(-3A-2B+C)x²+(3A+B-C)x-A [/mm]

Wo ist da mein Fehler?

danke für die Hilfe.

zaaaq

        
Bezug
Partialbruchzerlegung: falsch zerlegt?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:03 Do 09.03.2006
Autor: Roadrunner

Hallo zaaaq!


Diesmal erhalte ich nicht Deine Lösung, sondern die vorgegebene.

Ich kann auch nicht Deiner Partialbruchzerlegung folgen. Ich habe:

[mm] $x^3-2x^2+x [/mm] \ = \ [mm] x*\left(x^2-2x+1\right) [/mm] \ = \ [mm] x*(x-1)^2$ [/mm]


Damit lautet die Partialbruchzerlegung:

[mm] $\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{C}{(x-1)^2}$ [/mm]


Da taucht der Term [mm] $x^3$ [/mm] also überhaupt nicht auf.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:10 Do 09.03.2006
Autor: zaaaq

Ich habe die selben Partialbrüche wie du verwendet.

Aber das muss doch dann lauten:

A(x-1)(x-1)²+b(x(x-1)²+c(x(x-1))
Und wenn ich das ausrechne erhalte ich [mm] x^{3} [/mm]

Wo ist da der Fehler?

grüße

Bezug
                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:18 Do 09.03.2006
Autor: Roadrunner

Hallo zaaaq!


[notok] Das stimmt nicht bzw. ist es völlig überflüssig!


Im Zähler des Gesamtbruches muss nach dem Erweitern auf den Hauptnenner [mm] $x*(x-1)^2$ [/mm] stehen:

[mm] $A*(x-1)^2+B*x*(x-1)+C*x$ [/mm]


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:27 Do 09.03.2006
Autor: zaaaq

Und wie kommt man darauf?

Ich dachte ich muss einfach A mit den Nennern der Partialbrüche B und C multiplizieren um sie auf einen Hauptnenner zu bringen. Das selbe spiel mit B(Nennern von A und C multiplizieren) und C(Nenner von B und A).

Ich bin nun fast völlig verwirrt. Ich hoffe wir können meine Unklarheiten noch beseitigen.

gruß zaaaq.

Bezug
                                        
Bezug
Partialbruchzerlegung: Hauptnenner
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:26 Do 09.03.2006
Autor: Pacapear

Hi zaaaq!

Ich beschäftige mich auch grad mit diesen fiesen Partialbruchzerlegungen.
Ich hoffe, ich kann deine Unklarheiten beseitigen.

Also deine Partialbruchzerlegung lautet ja wie folgt:

... =  [mm] \bruch{A}{x} [/mm] +  [mm] \bruch{B}{x-1} [/mm] +  [mm] \bruch{C}{(x-1)²} [/mm]

Der Hauptnenner dieser 3 Brüche ist doch x * (x-1)².

Also erweiterst du wie folgt:

[mm] \to [/mm] Den ersten Bruch mit (x-1)²
[mm] \to [/mm] Den zweiten Bruch mit x * (x-1)
[mm] \to [/mm] Den dritten Bruch mit x

Das sieht dann so aus:

[mm] \bruch{A}{x} [/mm] +  [mm] \bruch{B}{x-1} [/mm] +  [mm] \bruch{C}{(x-1)²} [/mm]

= [mm] \bruch{A * (x-1)²}{x * (x-1)²} [/mm] +  [mm] \bruch{Bx * (x-1)}{x * (x-1)²} [/mm] +  [mm] \bruch{Cx}{x * (x-1)²} [/mm]

Und das ist die Lösung, die Roadrunner dir auch gegeben habt.

Bezug
                                                
Bezug
Partialbruchzerlegung: Vielen Dank!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:00 Do 09.03.2006
Autor: zaaaq

Ow, nun erst sehe ich das.  Aber habe es dank dir verstanden.

Vielen dank dir!

Bezug
        
Bezug
Partialbruchzerlegung: TrickPartialbruchzerlegung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:58 Do 09.03.2006
Autor: Mr.Peanut

Gibt einen Trick in dem man sich in vielen Fällen viel Arbeit sparen kann.


[mm] $\bruch{x+2}{x^{3}-2x+x} [/mm] $
[mm] $=\bruch{x+2}{x(x-1)^2}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-1}+\bruch{C}{(x-1)^2} [/mm] $
Multipliezieren mit [mm] $(x-1)^2$ [/mm]
$ [mm] \gdw\bruch{(x+2) (x-1)^2}{x(x-1)^2}=\bruch{A (x-1)^2}{x}+\bruch{B(x-1)^2 }{x-1}+\bruch{C}{(x-1)^2} [/mm] $
$ [mm] \gdw\bruch{(x+2) }{x}=\bruch{A (x-1)^2}{x}+B(x-1)+C [/mm] $
Da diese Gelichung für alle x erfüllt sein muss setzt ich x=1
$ [mm] \gdw\bruch{(1+2) }{1}=\bruch{A (1-1)^2}{x}+B(1-1)+C [/mm] $ Rechte Seite wird 0 bis auf C
$ 3=C $

Als nächstes Multipliziere mit $x$
[mm] $=\bruch{x+2}{(x-1)^2}=A+\bruch{B x}{x-1}+\bruch{C x}{(x-1)^2} [/mm] $
mit $x=0$
$ [mm] \Rightarrow\bruch{0+2}{(0-1)^2}=2=A$ [/mm]

Ab jetzt gibts mehrere Möglichkeiten:
die Einfachste:
x ungleich einer Nullselle Setzten z.B. x=-2  C und A einsetzen:

[mm] $\bruch{-2+2}{-2(-2-1)^2}=\bruch{2}{-2}+\bruch{B}{-2-1}+\bruch{3}{(-2-1)^2} [/mm] $  
[mm] $0=-1-\bruch{B}{3}+\bruch{1}{3}$ [/mm]
[mm] $\gdw [/mm] B=-2$

Wie mal sieht musste ich kein Gleichungssystem mit mehreren unbekannten Lösen.
Geht am besten wenn man keine komplexen Nullstellen hat und nicht mehr als Zweifache Nullstellen.

Bezug
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