Partialbruchzerlegung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Mo 24.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie
a) [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{1-x^4} dx} [/mm] auf [mm] \IR [/mm] \ { [mm] \pm1 [/mm] }
b) [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{\wurzel{x+1}}{x-1} dx} [/mm] auf [mm] (1,\infty) [/mm] |
Hallo
ich habe Probleme bei der Partialbruchzerlegung der Integranden.
zu a)
Ich habe erhalten [mm] (1-x^4)=(x- \wurzel{-1})(x+\wurzel{-1})(x+1)(x-1). [/mm] Bedeutet auf [mm] \IR [/mm] \ { [mm] \pm1 [/mm] } ich muss Zähler [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] von den beiden Faktoren [mm] (x-\wurzel{-1})(x+\wurzel{-1}) [/mm] zwar berechnen, aber brauche die beiden Brüche nicht bei der anschließenden Integration berücksichtigen.
Ich hoffe, ich muss nur noch [mm] \integral_{}^{}{\bruch{A_3}{x+1} dx} [/mm] und
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{A_4}{x-1} dx} [/mm] berechnen. ODER???
zu b)
Wie kann ich denn [mm] \bruch{Zaehler}{(x-1)^1} [/mm] noch einer Partialbruchzerlegung unterwerfen??? In Nenner steht doch schon die höchste Potenz 1. Oder übersehe ich etwas mit der Wurzel im Zähler? Weiß aber auch keine andere Möglichkeit das Integral zu lösen.
Wer hat einen Tipp für mich? Bin sehr dankbar dafür.
Viele Grüße
didi_160
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Mo 24.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo didi!
Die Partialbruchzerlegung für Dein erstes Integral lautet:
[mm] $\bruch{1}{1-x^4} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\left(1-x^2\right)*\left(1+x^2\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(1-x)*(1+x)*\left(1+x^2\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{1-x}+ \bruch{B}{1+x}+ \bruch{C*x+D}{1+x^2}$
[/mm]
Und der letzte Bruch sollte Dir in näherer Vergangenheit als Integral schon mal begegnet sein, oder?
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Mo 24.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo didi!
Substituiere hier zunächst: $z \ := \ [mm] \wurzel{x+1}$ $\gdw$ [/mm] $x \ = \ [mm] z^2-1$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Mo 24.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo,
besten Dank für deinen Tipp. Integral zu b) knacke ich leider nicht alleine. Ich habe nach der Subst. und nach dem einsetzen erhalten:
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{ \wurzel{x+1}}{x-1} dx}=2*\integral_{}^{}{ \bruch{ z^2}{z^2-2} dz}
[/mm]
Nun wird das Integral [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{ z^2}{z^2-2} dz} [/mm] zum Problem. Ich habe subst. [mm] a=z^2 [/mm] <=> [mm] z=\wurzel{a}.
[/mm]
Nach einsetzen erhalte ich: [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{ a* \wurzel{a}}{a-2} da}.
[/mm]
Ich kann nicht erkennen, dass das Integral einfacher lösbar ist.
Was mache ich verkehrt? Bin für jeden Tipp sehr dankbar.
Viele Grüße
didi_160
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 20:21 Mo 24.07.2006 | | Autor: | riwe |
kürze durch den ausdruck im zähler
I= [mm] \integral_{}^{}{\frac{ dx}{\sqrt{x-1}}}= \integral_{}^{}{(x-1)^{-\frac{1}{2}} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{x^{n} dx}=....
[/mm]
alles klar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Mo 24.07.2006 | | Autor: | riwe |
im exponenten feht das MINUS
(ichkann es leider zuz zeit aus unerfindlichen gründen nicht korrigieren.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:47 Di 25.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo riwe!
Deine vorgeschlagene Vorgehensweise klappt hier nicht, da in Zähler und Nenner unterschiedliche Vorzeichen auftreten!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:46 Di 25.07.2006 | | Autor: | riwe |
ach wie doof von mir,
danke loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:50 Di 25.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo didi!
Formen wir den erhaltenen Term mal weiter um:
[mm] $\bruch{ z^2}{z^2-2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{ z^2 \ \blue{-2+2}}{z^2-2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{ z^2-2}{z^2-2}+\bruch{2}{z^2-2} [/mm] \ = \ [mm] 1+\bruch{2}{z^2-2}$
[/mm]
Und den Bruch nun mittels Partialbruchzerlegung bearbeiten ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Di 25.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo
besten Dank für deinen Trick. Alleine wäre ich da nie draufgekommen (+2-2)!
Jetzt kann ich die Aufagbe lösen.
Viele Grüße
didi_160
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Di 25.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo,
ich muß mich noch mal wegen der Partialbruchterlegung melden.
Ich habe folgendes gemacht: [mm] \integral_{}^{}{ \bruch{2}{z^2-2}dx}.
[/mm]
[mm] \bruch{2}{z^2-2}=\bruch{B+Cz}{z^2-2} [/mm]
D.h. ich muß keinen Term mit Nenner [mm] (z-1)^2 [/mm] bzw. Nenner [mm] (z-1)^1 [/mm] auf der rechten Seite berücksichtigen. Ebenso keine Nenner der Form [mm] ({z^2-2})^2...
[/mm]
Damit erhalte ich-> B=2 , C=0 .
Damit bin ich doch keinen Schritt weiter.
Was mache ich denn nun schon wieder falsch??
Viele Grüße
didi_160>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 Di 25.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo didi!
Dein Bruch bzw. der Nenner hat doch zwei reelle Nullstellen. Damit lautet Deine Partialbruchzerlegung:
[mm] $\bruch{2}{z^2-2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{\left(z-\wurzel{2} \ \right) *\left(z+\wurzel{2} \ \right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{z-\wurzel{2}}+\bruch{B}{z+\wurzel{2}}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Di 25.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo,
na klar!
Stünde im Nenner [mm] (z^2-1) [/mm] dann dürfte ich das nicht machen, aber in der Aufgabe sind ja die Nullstellen reell!
Besten Dank!!!
Gruß
didi_160
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 Di 25.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo didi!
> Stünde im Nenner [mm](z^2-1)[/mm] dann dürfte ich das nicht machen,
Du meinst hier wohl [mm] $z^2 [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ 1$ ?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:43 Di 25.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Genau so mein ich das. Die Hitze setzt einem ganz schön zu!!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Di 25.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Habe als Lösung erhalten:
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{ \wurzel{x+1}}{x-1} dx}
[/mm]
=> [mm] z+\integral_{}^{}{ \bruch{2}{z^2-2} dz}
[/mm]
=>z+ [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}*ln|z-\wurzel{2}|-\bruch{1}{\wurzel{2}}*ln|z+\wurzel{2}|+C
[/mm]
[mm] =>\wurzel{x+1}+ \bruch{1}{\wurzel{2}}*ln|\wurzel{x+1}-\wurzel{2}|-\bruch{1}{\wurzel{2}}*ln|\wurzel{x+1}+\wurzel{2}|+C
[/mm]
[mm] =>\wurzel{x+1}+ \bruch{1}{\wurzel{2}}*[ln|\wurzel{x+1}-\wurzel{2}|-ln|\wurzel{x+1}+\wurzel{2}|]+C
[/mm]
[mm] =>\wurzel{x+1}+\bruch{1}{\wurzel{2}}*ln[\bruch{|\wurzel{x+1}-\wurzel{2}|}{|\wurzel{x+1}+\wurzel{2}|}]+C
[/mm]
Wer ist so nett und schaut sich mal dier Lösung an. Leider erhalte ich nach dem differenzieren der Stammfunktion nicht den ursprünglichen Integranden. Nun weiß ich nicht ob ich mich beim Integrieren oder beim Differenzieren verrrechnet habe.
Besten Dank im Voraus
Viele Grüße didi_160
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Di 25.07.2006 | | Autor: | riwe |
auch auf die gefahr einer weiteren blamage hin: du hast am anfang einen faktor 2 vergessen ( statt dz gehört 2dz eingesetzt).
wenn du daher die 2 bei JEDEM faktor deines ergebnisses dazu hängst, stimmt alles.
hoffe ich
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 Di 25.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo riwe!
Wenn es Dich beruhigt  ... ich bin zum selben Ergebnis gekommen, dass hier jeweils der Faktor $2_$ fehlt.
Damit geht bei mir auch die Probe mit der Ableitung auf.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Di 25.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Besten Dank für deine Antwort.
In der Zwischenzeit habe ich die Rechnung überprüft und bin selbst auf den Fehler (Faktor 2) gekommen.
Jetzt liegen 3 bestätigte richtige Ergebnisse vor. Richtger als richtig kann die Lösung nicht sein!
Besten Dank an dieser Stelle für deine Geduld mit mir.
Viele Grüße
didi_160
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 25.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo,
weshalb "Blamage" ???
Ich bin so froh, dass man sich über dieses Forum fachlich austauschen kann. Ich möchte nicht wissen, wie oft ich mich schon im Forum "blamiert" habe. Entscheidend ist für mich: Ich habe eine Möglichkeit eine Frage sofort los zu werden und bekomme in aller Regel eine Antwort. Auf diese Weise lerne ich enorm hinzu!!!
Deshalb besten Dank für jeden Tipp!!!
Viele Grüße
didi_160
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