Partialbruchzerlegung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Fr 07.03.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
zu der folgenden Seite , Aufgabe 4 ![[]](/images/popup.gif) Tutorium
habe ich eine Frage zu der Frage "(geht das immer?)":
Als erstes, was ich betrachten würde, wäre,
dass die Nenner der beiden Brüche verschieden von Null sein müßen. D.h es muss gelten: [mm] x\not= \mu [/mm] , [mm] x\not= \lambda.
[/mm]
Anders [mm] ausgedrückt:\mu [/mm] , [mm] \lambda \not\in [/mm] [a,b] (a,b sind die Integrationsgrenzen)
Stimmt das ?
Gruss
Igor
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Hi, Igor,
> zu der folgenden Seite , Aufgabe 4
> Tutorium
>
> habe ich eine Frage zu der Frage "(geht das immer?)":
>
> Als erstes, was ich betrachten würde, wäre,
> dass die Nenner der beiden Brüche verschieden von Null sein
> müßen. D.h es muss gelten: [mm]x\not= \mu[/mm] , [mm]x\not= \lambda.[/mm]
>
> Anders [mm]ausgedrückt:\mu[/mm] , [mm]\lambda \not\in[/mm] [a,b] (a,b sind
> die Integrationsgrenzen)
Es geht um ein UNBESTIMMTES Integral: Da gibt's keine Integrationsgrenzen. Es soll "nur" eine Stammfunktion ermittelt werden.
Zudem bezieht sich die Frage "geht das immer" nicht auf das Integral, sondern einzig und allein um die Frage, ob ein so gebauter Integrand sich IMMER in die rechts stehende Summe zweier Brüche mit linearem Nenner zerlegen lässt.
Dazu wirst Du am besten die rechte Seite "zurückverwandeln", also wieder einen einzigen Bruch draus machen.
Der Koeffizientenvergleich im Zähler (der Nenner ist eh klar, da ein quadratischer Term, der 2 Nullstellen hat, sich immer in der Form [mm] (x-\lambda)*(x-\mu) [/mm] schreiben lässt) kriegst Du ein Gleichungssystem mit den Unbekannten A und B, bei dem Du Dir nun klar machen musst, dass es immer eindeutig lösbar ist.
Alles klar?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Fr 07.03.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Zwerglein,
danke für den Tipp!
1.Zu dem unbestimmten Integral: Im buch habe ich gelesen, dass das unbestimmte Integral eine Integrationsgrenze als Konstante und zweite als Variable hat.
F(t):= [mm] \integral_{a}^{t}{f(x) dx} [/mm] (das "unbestimmte Integral"). Wie ich das verstehe, läuft x von a bis t.
Dieses unbestimmte Integral ist dann die Menge aller bestimmten Integrale, die ihre Grenzen von a bis t haben(t variirt)?
2.Bei den beiden Brüchen denke ich, dass x ungleich den beiden Nullstellen sein muss. War das auch so gemeint?(nur nicht angegeben?).
Deshalb hatte ich das Bedenken, dass wenn x alle Werte eines Intervalls durchläuft, darf es nicht gleich der Nullstelle sein.
Was sagst Du dazu?
Gruss
Igor
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Hi, Igor,
> 1.Zu dem unbestimmten Integral: Im buch habe ich gelesen,
> dass das unbestimmte Integral eine Integrationsgrenze als
> Konstante und zweite als Variable hat.
> F(t):= [mm]\integral_{a}^{t}{f(x) dx}[/mm] (das "unbestimmte
> Integral"). Wie ich das verstehe, läuft x von a bis t.
Ich weiß nicht, was Du für ein Buch hast, aber das, was Du da schreibst, ist falsch!
F(t):= [mm]\integral_{a}^{t}{f(x) dx}[/mm]
ist nicht etwa das"unbestimmte Integral" (inwiefern denn auch "unbestimmt" - es ergibt sich ja dabei EINE BESTIMMTE Funktion!),
sondern die sog. "Integralfunktion"!
Das unbestimmte Integral ist aber "die Menge aller Stammfunktionen"
(da sind die Integralfunktionen zwar dabei, aber nicht jede Stammfunktion ist automatisch eine Integralfunktion!)
Beispiel: f(x) = [mm] 3x^{2}
[/mm]
Eine Integralfunktion dazu wäre z.B.:
[mm] \integral_{1}^{x}{3t^{2} dt} [/mm] = [mm] [t^{3}]_{1}^{x} [/mm] = [mm] x^{3} [/mm] - 1
Das unbestimmte Integral aber ist:
[mm] \integral{3x^{2} dx} [/mm] = [mm] x^{3} [/mm] + c. (c [mm] \in \IR [/mm] beliebig!)
> Dieses unbestimmte Integral ist dann die Menge aller
> bestimmten Integrale, die ihre Grenzen von a bis t haben(t
> variirt)?
Wenn a fest ist, gibt's gar keine "Menge" solcher Integrale sondern nur genau EINE einzige Funktion, die den Ansatz erfüllt! (siehe mein obiges Beispiel!)
> 2.Bei den beiden Brüchen denke ich, dass x ungleich den
> beiden Nullstellen sein muss. War das auch so gemeint?(nur
> nicht angegeben?).
Naja: Die Definitionsmenge muss man natürlich vorher berechnen - die ist auf beiden Seiten der Gleichung logischer Weise identisch!
> Deshalb hatte ich das Bedenken, dass wenn x alle Werte
> eines Intervalls durchläuft, darf es nicht gleich der
> Nullstelle sein.
Das Problem kann gar nicht auftreten, weil
a) jede Stammfunktion nur auf Intervallen gültig ist
und
b) ein "Intervall", das zur Definitionsmenge einer Funktion gehört, niemals "Löcher" hat, d.h. keine Definitionslücke enthält.
Also nochmals: Es geht bei dieser von Dir angerissenen Frage NICHT um die Definitionslücken, sondern darum, ob man den Bruchterm auf der linken Seite (der automatisch dieselbe Definitionsmenge hat wie die Summe der beiden Terme rechts!) ob also dieser Term sich IMMER in zwei getrennte Brüche der Art, wie sie rechts stehen, zerlegen lässt.
Und: Die eigentliche Frage lautet:
Kann man in jedem Fall A und B finden, sodass die Gleichung erfüllt ist?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Sa 08.03.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Zwerglein,
Zu der Aufgabenstellung:
ich habe folgendes rausbekommen:
B= [mm] \bruch{a\lambda+b}{\lambda-\mu}
[/mm]
A= [mm] a-\bruch{a\lambda+b}{\lambda-\mu}
[/mm]
Ich wüßte jetzt nicht, warum die Lösung nicht eindeeutig sein sollte. Also, ich denke, dass das immer geht.
Zum Buch: Otto Forster Analysis 1 S.200
Dort steht: "..... erhalten so eine neue Funktion(!), das "unbestimmte Integral"". Eine Erklärung wäre, dass mit dem "unbestimmte Integral" die Integralfunktion gemeint wird und dassselbe nur ohne die Anführungszeichen genau dieses unbestimmte Integral(ein bisschen verwirrend, net wahr?  )
Gruss
Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Mo 10.03.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe gerade gemerkt, dass man den Nenner noch als [mm] v^2-2(c^2+d) [/mm] schreiben kann und dann die Nullstellen bestimmen.
Dann könnte man die Partialbruchzerlegung wie in Aufgabe 4 durchführen.Und dann ganz am Ende re-substituieren?
Stimmt es?
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Mo 10.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
das muss falsch sein, wenns keine reelle Nullstelle für x gibt, dann natürlich auch keine für x+c/2!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Mo 10.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Man muss das Ziel vor Augen haben, um da richtig vorzugehen.
[mm] \bruch{1}{1+x^2} [/mm] kannst du integrieren (arctan) (ebenso [mm] \bruch{1}{1-x^2} [/mm] arcthan)
also willst du dahin!
1. Schritt [mm] x^2+cx+d=x^2+cx+(c/2)^2-(c/2)^2+d=(x+c/2)^2+(-c^2/4+d)
[/mm]
Quadratische Ergänzung ist immer was gutes!
u=x+c/2 damit [mm] u^2+(d-c^2/4) [/mm] kurz [mm] (d-c^2/4)=a
[/mm]
dann durch a dividieren: [mm] a*(u^2/a+1) [/mm] also [mm] u^2/a=z^2 [/mm] und du hast dein Ziel erreicht für a>0 , bei neg, a entsprechend.
Wenn man damit vorgeht, also mit dem Ziel vor Augen, ist jeder Schritt klar, und man kann auch in einem Schritt substituieren, statt in 2.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Mo 10.03.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo leduart und danke für die Erklärung!
Ich habe für a= [mm] \bruch{1}{\lambda^{2}} [/mm] eingesetzt.
Der Nenner wurde also bis zur Form [mm] v^{2}+1 [/mm] umgeschrieben .
[mm] 1/(v^{2}+1) [/mm] könnte man jetzt integrieren.Was ist eigentlich mit dem Zähler? Dort steht immer noch ax+b .
Gruss
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:10 Mo 10.03.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo nochmal,
wenn im Nenner [mm] 1-v^{2} [/mm] stünde, könnte man über (1-v)(1+v) Partialbruchzerlegung durchführen.
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 Mo 10.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm a/2*2x/Nenner + b/Nenner und integrier einzeln.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Mo 10.03.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe x substituiert und dann die partielle Integration angewendet. Ich habe dann folgendes herausbekommen: [mm] ln(v^{2}+1)(-\bruch{a}{2\lambda^{3}})+b*arctan [/mm] v.
Gruss
Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Di 11.03.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
zum Tutorium Aufgabe 6 habe ich eine Frage:
Bei dem ersten Integral gibt es keine reellen Nullstellen, also habe ich den Ansatz aus Aufgabe 5 angewendet. Als Stammfunktion habe ich folgendes erhalten:
[mm] \bruch{1}{4}(ln(\bruch{x^{2}+2x+5}{4})+arctan(\bruch{x+1}{2})). [/mm]
Ich habe dann mit "Mathematica 5" gerechnet und dort war als Ergebnis [mm] :\bruch{1}{2}(ln(x^{2}+2x+5)+arctan(\bruch{x+1}{2})). [/mm]
Ich habe paar Mal nachgerechnet und konnte keinen Fehler bei mir finden. Mein Rechenvorgang war:
a) der Nenner = [mm] 4(v^{2}+1)
[/mm]
b)der Zähler 2v+1
c) dann mit der partiellen Integration: [mm] \bruch{1}{4}(ln(v^{2}+1)+arctan [/mm] v)
Kannst Du bitte korrigieren?
Gruss
Igor
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Hallo Igor1,
> Hallo,
>
> zum
> Tutorium
> Aufgabe 6 habe ich eine Frage:
>
> Bei dem ersten Integral gibt es keine reellen Nullstellen,
> also habe ich den Ansatz aus Aufgabe 5 angewendet. Als
> Stammfunktion habe ich folgendes erhalten:
>
> [mm]\bruch{1}{4}(ln(\bruch{x^{2}+2x+5}{4})+arctan(\bruch{x+1}{2})).[/mm]
>
> Ich habe dann mit "Mathematica 5" gerechnet und dort war
> als Ergebnis
> [mm]:\bruch{1}{2}(ln(x^{2}+2x+5)+arctan(\bruch{x+1}{2})).[/mm]
>
> Ich habe paar Mal nachgerechnet und konnte keinen Fehler
> bei mir finden. Mein Rechenvorgang war:
> a) der Nenner = [mm]4(v^{2}+1)[/mm]
> b)der Zähler 2v+1
> c) dann mit der partiellen Integration:
> [mm]\bruch{1}{4}(ln(v^{2}+1)+arctan[/mm] v)
>
> Kannst Du bitte korrigieren?
Hier wurde die Substition [mm]2v=x+1[/mm] angewendet:
[mm]2v=x+1 \Rightarrow 2 dv = dx[/mm]
Dann ist
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{x+2}{x^2+2x+5} \ dx}=\integral_{}^{}{\bruch{x+2}{\left(x+1\right)^{2}+4} \ dx}[/mm]
[mm]=\integral_{}^{}{{\bruch{2v-1+2}{\left(2v\right)^{2}+4}\ \red{2} \ dv}=\integral_{}^{}{\bruch{2v+1}{4v^{2}+4}}\ 2 \ dv}[/mm]
[mm]=\integral_{}^{}{\bruch{2v+1}{4*\left(v^{2}+1\right)}} \ 2 \ dv}=\integral_{}^{}{\bruch{2v+1}{2*\left(v^{2}+1\right)}} \ dv}[/mm]
[mm]=\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{2v+1}{v^{2}+1}} \ dv}[/mm]
>
> Gruss
> Igor
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:20 Mi 12.03.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo MathePower,
ja, ich habe bei der Substitution diese 2 vergessen (die Ableitung).
___________________________________________________________
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{2v+1}{v^{2}+1}} [/mm] dv =
= [mm] \bruch{1}{2}(ln(v^{2}+1)+arctan [/mm] v)= [mm] \bruch{1}{2}(ln(\bruch{x^{2}+2x+5}4)+arctan \bruch{x+1}{2}). [/mm] Das Ergebnis stimmt jedoch mit dem Ergebnis von "Matematica 5" nicht überein.
Dort war als Ergebnis: [mm] \bruch{1}{2}(ln(x^{2}+2x+5)+arctan(\bruch{x+1}{2})). [/mm] Ich hoffe , dass ich keinen Fehler bei der re-Substitution gemacht habe.
Wo könnte der Fehler sein?
Gruss
Igor
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Hi, Igor,
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{\bruch{2v+1}{v^{2}+1}}[/mm] dv =
> = [mm]\bruch{1}{2}(ln(v^{2}+1)+arctan[/mm] v)=
> [mm]\bruch{1}{2}(ln(\bruch{x^{2}+2x+5}4)+arctan \bruch{x+1}{2}).[/mm]
> Das Ergebnis stimmt jedoch mit dem Ergebnis von "Matematica
> 5" nicht überein.
> Dort war als Ergebnis:
> [mm]\bruch{1}{2}(ln(x^{2}+2x+5)+arctan(\bruch{x+1}{2})).[/mm] Ich
> hoffe , dass ich keinen Fehler bei der re-Substitution
> gemacht habe.
>
> Wo könnte der Fehler sein?
Wenn man' genau nimmt, stimmt weder das eine noch das andere 
Warum?
Beim unbestimmten Integral ergibt sich am Ende immer noch eine Konstante.
Beispiel: [mm] \integral{x^{2} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}x^{3} \red{+c}.
[/mm]
Wenn man die vergisst, gerät man in so eine Sackgasse, wie Du jetzt in einer steckst.
Die beiden Ergebnisse (Deines und das von Mathematica) unterscheiden sich nämlich tatsächlich nur um eine Konstante, nämlich
[mm] \bruch{1}{2}*ln(4).
[/mm]
Wenn Du also hinter beide Ergebnisse "+c" bzw. "+d" schreibst, dann sind beide Ergebnisse richtig, geben dieselbe MENGE VON STAMMFUNKTIONEN an!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Mi 12.03.2008 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
zum Tutorium Aufgabe 7 habe ich eine Frage:
Ich habe das Integral berechnet und es kam raus bei mir [mm] \bruch{5-\bruch{3}{2}ln2+\pi}{4}.
[/mm]
"Mathematica 5" gibt als Ergebnis [mm] \bruch{10+ln4+\pi}{4} [/mm] an.
Zuvor(s. Beitarg von Zwerglein) hatte ich fast dasselbe Problem mit dem unbestimmten Integral. Hier ist jedoch das bestimmte Integral (wie ist es mit der Konstante in diesem Fall?).
Wo könnte der Fehler sein?
Gruss
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 Mi 12.03.2008 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Igor,
> Ich habe das Integral berechnet und es kam raus bei mir
> [mm]\bruch{5-\bruch{3}{2}ln2+\pi}{4}.[/mm]
>
> "Mathematica 5" gibt als Ergebnis [mm]\bruch{10+ln4+\pi}{4}[/mm]
> an.
> Zuvor(s. Beitarg von Zwerglein) hatte ich fast dasselbe
> Problem mit dem unbestimmten Integral. Hier ist jedoch das
> bestimmte Integral (wie ist es mit der Konstante in diesem
> Fall?).
Diesmal spielt die Konstante KEINE Rolle!
Hier müsste beide Male dasselbe rauskommen!
mfG!
Zwerglein
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Hallo Igor1,
> Hallo,
>
> zum
> Tutorium
> Aufgabe 7 habe ich eine Frage:
>
> Ich habe das Integral berechnet und es kam raus bei mir
> [mm]\bruch{5-\bruch{3}{2}ln2+\pi}{4}.[/mm]
>
> "Mathematica 5" gibt als Ergebnis [mm]\bruch{10+ln4+\pi}{4}[/mm]
> an.
> Zuvor(s. Beitarg von Zwerglein) hatte ich fast dasselbe
> Problem mit dem unbestimmten Integral. Hier ist jedoch das
> bestimmte Integral (wie ist es mit der Konstante in diesem
> Fall?).
>
> Wo könnte der Fehler sein?
Meiner Meinung nach gibt es 2 Möglichkeiten:
1. Möglichkeit: Stamnmfunktion.
2. Möglichkeit: Fehlerhafte Auswertung der Stammfunktion.
>
> Gruss
> Igor
Gruß
MathePower
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