Partialbruchzerlegung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 So 25.05.2008 | | Autor: | dieanne |
| Aufgabe | | Berechnen Sie unter Verwendung geeigneter Integrationsmethoden das unbestimmte Integral [mm] \integral{\bruch{e^x+e^{2x}}{e^{3x}+e^{5x}}} [/mm] |
Hallo,
ich habe mit der Standardsubstitution [mm] e^x=t [/mm] gesetzt und dann [mm] dx=\bruch{dt}{t}. [/mm] Daraus folgt:
[mm] \integral{\bruch{1+t}{t^5+t^3}dt}=\integral{\bruch{1+t}{t^3(t^2+1)}dt}
[/mm]
So und jetzt wollte ich mit Partialbruchzerlegung weiter machen und das klappt irgendwie nicht:
[mm] \bruch{1+t}{t^3(t^2+1)}=\bruch{1+t}{t*t^2*(t-i)*(t+i)}
[/mm]
Also:
[mm] \bruch{1+t}{t^3(t^2+1)}=\bruch{A}{t}+\bruch{B*t+C}{t^2}+\bruch{D}{t-i}+\bruch{E}{t+i}
[/mm]
Und jetzt komme ich immer auf C=1, [mm] D=-\bruch{1+i}{2i},
[/mm]
[mm] E=\bruch{1-i}{2i}
[/mm]
Leider bekomme ich A und B nicht raus und weiß auch nicht wie ich das Integral mit dem t sonst bestimmen könnte. Hat jemand eine Idee?
Vielen Dank schon mal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 So 25.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anne!
Deine Partialbruchzerlegung muss lauten:
[mm] $$\bruch{1+t}{t^3*\left(1+t^2\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{t}+\bruch{B}{t^2}+\bruch{C}{t^3}+\bruch{D*t+E}{1+t^2}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 So 25.05.2008 | | Autor: | dieanne |
Das [mm] t^2+1=(t-i)(t+i) [/mm] habe ich aus unserem Skript übernommen, dass muss scheinbar so sein? Die Zerlegung mit A, B, C wie du sie vorschlägst hab ich auch schon gemacht, aber mit dem i. Da kommt für C, D, E das selbe raus wie bei dem anderen, was ja irgedwie klar ist und für A und B bekommt man immer nur wahre Aussagen... Vielleicht geht es ja nicht über Partialbruchzerlegung? Bei deiner Variante habe ich ja nur noch Null als Nullstelle zum einsetzen, da bekomme ich doch dann noch weniger von A, B, C, D, E raus, oder?
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Hallo Anne,
> Das [mm]t^2+1=(t-i)(t+i)[/mm] habe ich aus unserem Skript
> übernommen, dass muss scheinbar so sein? Die Zerlegung mit
> A, B, C wie du sie vorschlägst hab ich auch schon gemacht,
> aber mit dem i. Da kommt für C, D, E das selbe raus wie bei
> dem anderen, was ja irgedwie klar ist und für A und B
> bekommt man immer nur wahre Aussagen... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
> Vielleicht geht es
> ja nicht über Partialbruchzerlegung?
Doch, doch, das ist der Weg der Wahl!
> Bei deiner Variante
> habe ich ja nur noch Null als Nullstelle zum einsetzen, da
> bekomme ich doch dann noch weniger von A, B, C, D, E raus,
> oder? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du kannst natürlich [mm] $t^2+1=(t-i)(t+i)$ [/mm] zerlegen, musst aber dann mit komplexen Zahlen rechnen.
Du hast dann den Ansatz: [mm] $\frac{t+1}{t^3+t^5}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t^2}+\frac{C}{t^3}+\frac{D}{t+i}+\frac{E}{t-i}$
[/mm]
Dabei sind [mm] $A,...,E\in\IC$ [/mm] !!
Bei Loddars Ansatz: [mm] $\frac{t+1}{t^3+t^5}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t^2}+\frac{C}{t^3}+\frac{Dt+E}{t^2+1}$ [/mm] sind [mm] $A,..,E\in\IR$ [/mm] !!
Du kannst es rechnen wie du magst, in Loddars Variante musst du nun entsprechend erweitern und alle Brüche gleichnamig machen:
[mm] $\frac{A}{t}+\frac{B}{t^2}+\frac{C}{t^3}+\frac{Dt+E}{t^2+1}=\frac{A\red{\cdot{}t^2\cdot{}(t^2+1)}}{t\red{\cdot{}t^2\cdot{}(t^2+1)}}+\frac{B\red{\cdot{}t\cdot{}(t^2+1)}}{t^2\red{\cdot{}t\cdot{}(t^2+1)}}+\frac{C\red{\cdot{}(t^2+1)}}{t^3\red{\cdot{}(t^2+1)}}+\frac{(Dt+E)\red{\cdot{}t^3}}{(t^2+1)\red{\cdot{}t^3}}$
[/mm]
Nun alles auf einen Bruchstrich schreiben, den Zähler ausmultiplizieren und nach Potenzen von $t$ sortieren.
Dann mache einen Koeffizientenvgl. mit [mm] $t+1=0\cdot{}t^4+0\cdot{}t^3+0\cdot{}t^2+1\cdot{}t+1$
[/mm]
Es kommen für $A,...,E$ nur "nette" Werte heraus...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 So 25.05.2008 | | Autor: | dieanne |
Ok, danke! Das mit dem Koeffizientenvergleich kannte ich noch nicht. wir haben immer die Nullstellen eingesetzt und sind dann direkt auf die Werte gekommen. Habe noch ein kleines Problem/Denkfehler:
B=1, C=1, A=-1, E=-1, D=1 Daraus folgt dann:
[mm] \integral{\bruch{1+t}{t^3+t^5}}
[/mm]
[mm] =-\integral{\bruch{1}{t}}+\integral{\bruch{1}{t^2}}+\integral{\bruch{1}{t^3}}+\integral{\bruch{t-1}{t^2+1}}
[/mm]
[mm] =-ln|t|-\bruch{1}{t}-\bruch{1}{2t^2}+\bruch{1}{2}(ln(t^2+1)-2arctan(t)
[/mm]
[mm] =-x-\bruch{1}{e^x}-\bruch{1}{2e^{2x}}+\bruch{1}{2}ln(e^{2x}+1)-arctan(e^x)
[/mm]
Sieht in meiner Lösung jemand einen Fehler? Ich habe alles auch mit einem Integralrechner durchrechnen lassen und da kommt als Ergebnis fast das Selbe raus, aber das "-x" fehlt und vor dem Exponenten von e im ln und im arctan ist ein Minus??? Ist das das selbe und ich sehe nur die Umformung nicht?
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Hallo Anne,
> Ok, danke! Das mit dem Koeffizientenvergleich kannte ich
> noch nicht. wir haben immer die Nullstellen eingesetzt und
> sind dann direkt auf die Werte gekommen. Habe noch ein
> kleines Problem/Denkfehler:
>
> B=1, C=1, A=-1, E=-1, D=1 Daraus folgt dann:
>
> [mm]\integral{\bruch{1+t}{t^3+t^5}}[/mm]
>
> [mm]=-\integral{\bruch{1}{t}}+\integral{\bruch{1}{t^2}}+\integral{\bruch{1}{t^3}}+\integral{\bruch{t-1}{t^2+1}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]=-ln|t|-\bruch{1}{t}-\bruch{1}{2t^2}+\bruch{1}{2}(ln(t^2+1)-2arctan(t)[/mm]
>
> [mm]=-x-\bruch{1}{e^x}-\bruch{1}{2e^{2x}}+\bruch{1}{2}ln(e^{2x}+1)-arctan(e^x)[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Das erhalte ich auch, und zumindest DERIVE bestätigt dieses Ergebnis
>
> Sieht in meiner Lösung jemand einen Fehler? Ich habe alles
> auch mit einem Integralrechner durchrechnen lassen und da
> kommt als Ergebnis fast das Selbe raus, aber das "-x" fehlt
> und vor dem Exponenten von e im ln und im arctan ist ein
> Minus??? Ist das das selbe und ich sehe nur die Umformung
> nicht?
[mm] $\arctan$ [/mm] ist eine ungerade Funktion, also [mm] $\arctan(-x)=-\arctan(x)$
[/mm]
Steht da vllt. statt [mm] $-\arctan(e^x)$ [/mm] das ganze mit plus, also [mm] $+\arctan(-e^x)$?
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 So 25.05.2008 | | Autor: | dieanne |
Ja, da steht +arctan, aber warum dann das Minus im Exponenten beim ln und wieso fehlt das -x?
Ich hab es nochmal mit einem anderen Integrator ausgerechnet, der kommt auf das selbe wie ich. Gehe also mal davon aus, dass meine Lösung stimmt  Vielen Dank für die schnelle Hilfe!
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