Partialbruchzerlegung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:25 So 01.06.2008 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | | Es soll folgendes Integral mithilfe der Partialbruchzerlegung berechnet werden: [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2-x}{x²-2x+3} dx} [/mm] |
Hallo,
ich habe bei der Partialbruchzerlegung mit komplexen Nullstellen Probleme. Ich verstehe nicht ganz, wie ich hier beispielsweise zur Vereinfachung eine Linearfaktorzerlegung durchführen muss. Bei dieser Aufgabe gibt es nur eine (einfache)komplexe Nullstelle: [mm] 1\pm\wurzel{2j}.
[/mm]
Nun müsste der Ansatz so sein: [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2-x}{x²-2x+3} dx}=\integral_{}^{}{\bruch{Cx+D}{x²-2x+3} dx}. [/mm] Wie müsste es hier weitergehen? Und wie unterscheidet man einfache von mehrfachen komplexen Nullstellen?
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> Es soll folgendes Integral mithilfe der
> Partialbruchzerlegung berechnet werden:
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2-x}{x²-2x+3} dx}[/mm]
> Hallo,
> ich habe bei der Partialbruchzerlegung mit komplexen
> Nullstellen Probleme. Ich verstehe nicht ganz, wie ich hier
> beispielsweise zur Vereinfachung eine Linearfaktorzerlegung
> durchführen muss. Bei dieser Aufgabe gibt es nur eine
> (einfache)komplexe Nullstelle: [mm]1\pm\wurzel{2j}.[/mm]
> Nun müsste der Ansatz so sein:
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{2-x}{x²-2x+3} dx}=\integral_{}^{}{\bruch{Cx+D}{x²-2x+3} dx}.[/mm]
Naja, das C und D kann man ja von links ablesen, der Ansatz bringt eigentlich nichts. Wenn du es wirklich mit "Partialbruchzerlegung" lösen sollst, musst du wohl oder übel die Nennerfunktion in komplexe Linearfaktoren aufteilen und dann eine komplexe Partialbruchzerlegung durchführen.
Solche Integrale löst man aber eigentlich anders: Man teilt das Integral in zwei Teilsummanden auf. Ein Summand muss dann so aussehen, dass der Zähler des Bruchs genau die Ableitung des Nenners ist; die Stammfunktion dieses ersten Summanden ist dann
[mm] \ln(Nenner).
[/mm]
Der zweite Summand sollte nur noch eine Konstante im Zähler haben. Mit Hilfe quadratischer Ergänzung überführst du bei diesem zweiten Summanden den Nenner in eine Form [mm] (x+b)^{2} [/mm] + c. Dann klammerst du beim gesamten Bruch [mm] \bruch{1}{c} [/mm] aus, da steht dann [mm] (\bruch{x+b}{c^{2}})^{2} [/mm] + 1 im Nenner. Du substituierst u = [mm] \bruch{x+b}{c^{2}} [/mm] und kannst dann mir [mm] \arctan [/mm] integrieren.
Ich mache dir mal die ersten paar Schritte:
[mm]\integral{\bruch{2-x}{x^{2}-2x+3} dx}[/mm]
= [mm]\integral{-\bruch{1}{2}*\bruch{-4+2x}{x^{2}-2x+3} dx}[/mm]
= [mm]-\bruch{1}{2}*\integral{\bruch{2x-2}{x^{2}-2x+3} + \bruch{-2}{x^{2}-2x+3} dx}[/mm]
= [mm]-\bruch{1}{2}*\left(\underbrace{\integral{\bruch{2x-2}{x^{2}-2x+3} dx}}_{\mbox{Zu integrieren mit Ln }} + \underbrace{\integral{\bruch{-2}{x^{2}-2x+3} dx}}_{\mbox{Zu integrieren mit Arctan}}\right)[/mm]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 So 01.06.2008 | | Autor: | Owen |
Ja das scheint eine passende Methode zu sein. Jedoch muss dies unbedingt mithilfe der Partialbruchzerlegung gemacht werden. Und da stoße ich wieder auf mein Problem.
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Also eine weitere reelle Partialbruchzerlegung als die schon vorhandene gibt es nicht. Wenn man es einfach sturdoof nach komplexer Partialbruchzerlegung macht, erhält man ja:
[mm] \bruch{2-x}{x^2-2x+3} [/mm] = [mm] \bruch{2-x}{(x-1-\wurzel{2}i)*(x-1+\wurzel{2}i)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x-1-\wurzel{2}i} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x-1+\wurzel{2}i}.
[/mm]
Wo man erhält:
[mm]A = -\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{2}}{4}*i[/mm]
[mm]B = -\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{2}}{4}*i[/mm]
und somit dann
[mm] \integral{\bruch{2-x}{x^2-2x+3} dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{-\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{2}}{4}*i}{x-1-\wurzel{2}i} + \bruch{-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{2}}{4}*i}{x-1+\wurzel{2}i} dx}
[/mm]
erhält. Das könnte man ja leicht lösen, aber ob das im Sinne der Aufgabe ist...
Ich halte das nicht für sinnvoll und so wird es auch nirgendwo gemacht. Sowas wird eigentlich immer mit arctan integriert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:16 So 01.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Owen!
Ich muss zugeben, ich sehe hier keinen anderen Lösungsweg als den von Steppenhahn genannten.
Ist die Forderung anch Partialbruchzerlegung so deitlich genannt?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 So 01.06.2008 | | Autor: | Owen |
Naja, es sollte nach Möglichkeit die Partialbruchzerlegung angewandt werden,zwingend war es nicht. Jedoch bin ich davon ausgegangen, dass jede gebrochenrationale Funktion sich mit dieser Methode integrieren lässt. Aber wenn es der einzig sinnvolle Weg ist, dann bin ich auch über die Methode der Aufspaltung in Summanden froh.
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Hab nochmal ein bissel rumprobiert und habe entdeckt, dass wenn man mein oben berechnetes Integral mit den komplexen Zahlen auswertet und dann noch ein bisschen vereinfacht, man das i wieder vollkommen eliminieren kann! So würde es also auch gehen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 So 01.06.2008 | | Autor: | Owen |
achso, jo gut , danke für den Hinweis.
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