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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Mi 12.11.2008 | | Autor: | magir |
| Aufgabe | Berechnen Sie das folgende Integral:
[mm] \integral_{ }^{ }{\bruch{2x^3+x^2+2x+2}{x^4+2x^2+1} dx} [/mm] |
Da es um die Partialbruchzerlegung geht, nehme ich an, dass sich diese Integral auf diesem Weg lösen lässt. Im Grunde ist die Partialbruchzerlegung kein Problem nur bei dieser Funktion komme ich nicht weiter. Das hat den einfachen Grund, dass es keine Nullstellen gibt und somit die Partialbruchzerlegung nicht möglich ist.
Für die Berechnung der Nullstelle gilt:
[mm] x^4+2x^2+1=(x^2+1)^2 [/mm] = 0
Wie einfach ersichtlich ist müsst für eine Nullstelle [mm] x^2 [/mm] = -1 sein bzw. x = i.
Nun ist die Frage ob es Sinn macht mit einem komplexen Ansatz zu rechnen.
In dem Fall würde je eine doppelte Nullstelle bei x = i und x = -i vorliegen.
Auch dieser Ansatz führt jedoch nicht zur Lösung, da bei der Berechnung der Partialbrüche x = i gesetzt werden muss und dabei [mm] (x+1)^2 [/mm] = 0 wird. Da jedoch durch diesen Bruch geteilt wird findet der Weg auch schnell ein Ende.
Was muss ich also tun um dieses Integral zu lösen?
Über Ideen/ Antworten würde ich mich sehr freuen,
magir
Diese Frage habe ich nur in diesem Forum gestellt ...
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Hallo,
vielleicht hilft eine Polynomdivision etwas weiter?
> Berechnen Sie das folgende Integral:
> [mm]\integral_{ }^{ }{\bruch{2x^3+x^2+2x+2}{x^4+2x^2+1} dx}[/mm]
> Da
> es um die Partialbruchzerlegung geht, nehme ich an, dass
> sich diese Integral auf diesem Weg lösen lässt. Im Grunde
> ist die Partialbruchzerlegung kein Problem nur bei dieser
> Funktion komme ich nicht weiter. Das hat den einfachen
> Grund, dass es keine Nullstellen gibt und somit die
> Partialbruchzerlegung nicht möglich ist.
>
> Für die Berechnung der Nullstelle gilt:
> [mm]x^4+2x^2+1=(x^2+1)^2[/mm] = 0
> Wie einfach ersichtlich ist müsst für eine Nullstelle [mm]x^2[/mm]
> = -1 sein bzw. x = i.
> Nun ist die Frage ob es Sinn macht mit einem komplexen
> Ansatz zu rechnen.
> In dem Fall würde je eine doppelte Nullstelle bei x = i und
> x = -i vorliegen.
> Auch dieser Ansatz führt jedoch nicht zur Lösung, da bei
> der Berechnung der Partialbrüche x = i gesetzt werden muss
> und dabei [mm](x+1)^2[/mm] = 0 wird. Da jedoch durch diesen Bruch
> geteilt wird findet der Weg auch schnell ein Ende.
>
> Was muss ich also tun um dieses Integral zu lösen?
>
> Über Ideen/ Antworten würde ich mich sehr freuen,
> magir
>
>
> Diese Frage habe ich nur in diesem Forum gestellt ...
[mm]\integral\bruch{2x^3+x^2+2x+2}{x^4+2x^2+1} \;dx}=\integral \left(\bruch{2x}{x^2+1}+\bruch{1}{x^2+1}+\bruch{1}{(x^2+1)^2}\right)\;dx[/mm]
; so ich mich nicht verrechnet habe. Der erste Bruch gibt einen [mm] ln(x^2+1), [/mm] der 2. Bruch ist auch ein Stammintegral (arctan(x) ? - hab' gerade keine Formelsammlung zur Hand); beim 3. Bruch könnte man vielleicht eine Formelsammlung konsultieren?
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Do 13.11.2008 | | Autor: | magir |
Danke für deine Hilfe. Hatte ganz übersehen, dass man beim Teilen des Zählers durch [mm] x^2+1 [/mm] das Integral in drei einfachere Integrale zerlegen kann.
Damit komme ich dann auch zu dem von dir beschriebenen Ergebnis.
Beste Grüße,
magir
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http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=1+%2F(+1%2Bx^2)^2&random=false