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| Aufgabe | Lösen Sie das folgende unbestimmte Integral mittels partialbruchzerlegung
[mm] \integral{\bruch{x^2}{a^4-x^4} dx} [/mm] |
Hallo, ich kann bei der Lösung von der Aufgabe einpaar Rechenschritte nicht nachvolziehen und hoffe auf hilfe.
[mm] \integral{\bruch{x^2}{a^4-x^4} dx}=\integral{\bruch{-x^2}{(x-a)(x+a)(x^2+a^2)}*dx}
[/mm]
soweit alles klar aber dann kommt folgendes:
[mm] =\integral{(-\bruch{1}{4a}*\bruch{1}{x-a}+\bruch{1}{4a}*\bruch{1}{x+a}-\bruch{1}{2}*\bruch{1}{x^2+a^2}) dx}
[/mm]
ich verstehe nicht wie z.B [mm] -\bruch{1}{4a} [/mm] zustande kommt
mein Ansatz wäre Partialbruchzerlegung also:
[mm] -x^2=A(x-a)+B(x+a)+(c+dx)(x^2+a^2)
[/mm]
bitte um einen Tipp wie:
[mm] \integral{(-\bruch{1}{4a}*\bruch{1}{x-a}+\bruch{1}{4a}*\bruch{1}{x+a}-\bruch{1}{2}*\bruch{1}{x^2+a^2}) dx}
[/mm]
zustande kommt?
gruß Alex
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Hallo capablanca,
na, wenn das mal nicht passend ist, dass ich dir antworte 
> Lösen Sie das folgende unbestimmte Integral mittels
> partialbruchzerlegung
>
> [mm]\integral{\bruch{x^2}{a^4-x^4} dx}[/mm]
> Hallo, ich kann bei der
> Lösung von der Aufgabe einpaar Rechenschritte nicht
> nachvolziehen und hoffe auf hilfe.
>
> [mm]\integral{\bruch{x^2}{a^4-x^4} dx}=\integral{\bruch{-x^2}{(x-a)(x+a)(x^2+a^2)}*dx}[/mm]
>
> soweit alles klar aber dann kommt folgendes:
>
> [mm]=\integral{(-\bruch{1}{4a}*\bruch{1}{x-a}+\bruch{1}{4a}*\bruch{1}{x+a}-\bruch{1}{2}*\bruch{1}{x^2+a^2}) dx}[/mm]
>
> ich verstehe nicht wie z.B [mm]-\bruch{1}{4a}[/mm] zustande kommt
>
> mein Ansatz wäre Partialbruchzerlegung also:
> [mm]-x^2=A(x-a)+B(x+a)+(c+dx)(x^2+a^2)[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da hast du etwas zu schnell gerechnet...
Der Ansatz ist: [mm] $\frac{-x^2}{x^4-a^4}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x+a}+\frac{Cx+D}{x^2+a^2}$
[/mm]
Das auf einen Hauptnenner gebracht und dabei richtig erweitert, liefert:
[mm] $...=\frac{A(x+a)(x^2+a^2)}{x^4-a^4}+\frac{B(x-a)(x^2+a^2)}{x^4-a^4}+\frac{(Cx+D)(x^2-a^2)}{x^4-a^4}$
[/mm]
Nun die Zähler schön ausmultiplizieren, nach Potenzen von x sortieren und dann einen Koeffizientenvergleich mit dem Zähler auf der linken Seite machen, also mit [mm] $-x^2$
[/mm]
>
> bitte um einen Tipp wie:
>
> [mm]\integral{(-\bruch{1}{4a}*\bruch{1}{x-a}+\bruch{1}{4a}*\bruch{1}{x+a}-\bruch{1}{2}*\bruch{1}{x^2+a^2}) dx}[/mm]
>
> zustande kommt?
Das kommt mit der richtigen PBZ dann heraus (nehme ich an, ich hab's nicht durchgerechnet)
>
> gruß Alex
LG
schachuzipus
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Hab's nun doch nachgerechnet, es passt!
LG
schachuzipus
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Danke für die Antwort,komme leider nicht auf die Lösung, ist das so richtig?
nach deinem Tipp:
also [mm] -x^2=A(x^3+ax^2+a^2x+a^3)+B(x^3-ax^2+a^2x-a^3)+C(x^3-a)+D(x^2-a^2)
[/mm]
also:
für [mm] x^3 [/mm] -> A + B + C = 0
für [mm] x^2 [/mm] -> aA - aB + D =-1
für x [mm] ->a^2*A+a^2*B [/mm] =0
ist das so weit ok?, mich irritieren die a's, wie macht man hier am besten weiter?
gruß Alex
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Hallo Alex,
> Danke für die Antwort,komme leider nicht auf die Lösung,
> ist das so richtig?
>
> nach deinem Tipp:
> also
> [mm]-x^2=A(x^3+ax^2+a^2x+a^3)+B(x^3-ax^2+a^2x-a^3)+C(x^3-a)+D(x^2-a^2)[/mm]
>
> also:
>
> für [mm]x^3[/mm] -> A + B + C = 0
> für [mm]x^2[/mm] -> aA - aB + D =-1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> für x [mm]->a^2*A+a^2*B[/mm] =0
Hier erhalte ich: $a^2A+a^2B-a^2C=0$
und es fehlt noch die Gleichung für die konstanten Terme (mit [mm] $x^0$):
[/mm]
[mm] $Aa^3-Ba^3-Da^2=0$
[/mm]
>
>
> ist das so weit ok?, mich irritieren die a's, wie macht man
> hier am besten weiter?
Aus der dritten Gleichung klammere [mm] a^2 [/mm] aus und kürze es weg [mm] (a\neq [/mm] 0)
Dann kannst du die erste Gleichung auf die neue dritte addieren und bekommst 2A+2B=0, also A+B=0, dh. A=-B
Damit in die erste Gleichung: liefert $C=0$
Das setze überall ein und du erhältst das System:
1) $A=-B$
2) $2aA+D=-1$
3) [mm] $2a^3A-Da^2=0$
[/mm]
Hier rechne [mm] $-a^2\cdot{}2)$ [/mm] und addiere das auf 3)
Das gibt dir schließlich [mm] $D=-\frac{1}{2}$
[/mm]
Den kleinen Rest schaffst du dann locker ...
>
>
> gruß Alex
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:44 Di 05.01.2010 | | Autor: | capablanca |
Danke, wenn du nur halb so gut im Schach bist wie in Mathe, dann hätte ich keine chance 
gruß Alex
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Hi,
ach was, DWZ<2100, also ne Nulpe
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
ich sehe gerade, dass der Fehler wohl aus einer falschen Erweiterung rührt bei dem Term mit $Cx+D$
Du erweiterst $Cx+D$ mit [mm] $(x-a)(x+a)=x^2-a^2$
[/mm]
Das gibt [mm] $(Cx+D)(x^2-a^2)=Cx^3+Dx^2-a^2Cx-a^2D$ [/mm] ...
Checke das nochmal...
Gruß
schachuzipus
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