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Hallo zusammen,
also ich bereite mich gerade auf eine Mathe Klausur vor.
Dabei bin ich auf folgende Integralrechenaufgabe gestoßen:
[mm] \integral_{-1/2}^{1/6} [/mm] { [mm] \bruch{-x^{2}+2*x}{3*x^{2}+2*x-1} [/mm] dx}
Meine erste Idee war die Funktion in Partialbrüche zu zerlegen.
Habe zuerst also die Nennennullstellen gesucht, diese sind [mm] x_{1}= \bruch{1}{3} [/mm] und [mm] x_{2}=-1
[/mm]
Daraus ergeben sich die beiden Partialbrüche:
[mm] \bruch{A}{x-\bruch{1}{3}} [/mm] und [mm] \bruch{B}{x+1}
[/mm]
jetzt habe ich die einzelnen Partialbrüche so erweitert, dass ich auf den den selben Nenner wie in der Funktion komme.
Habe nun folgende Gleichung:
[mm] -x^{2}+2*x [/mm] = A*(3*x+3) + B*(3*x-1)
Nun habe ich zwei Werte gesucht, die je eine Variable rausschmeißen, diese wären x=-1 und x=1/3 (wie die Nullstellen)
Daraus ergibt sich A= [mm] \bruch{5}{36} [/mm] und B= [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
wenn ich nun meine beiden Partialbrüche addiere und zusammen als Funktion ansehe, habe ich noch nicht identisch die Funktion, die ich eigentlich haben will. Ein Plot in meinem Matheprogramm sagt mir, dass die Funktion sehr sehr ähnlich ist, aber keinesfalls mehr ist als eine Näherungslösung.
Wo ist mein Fehler?
Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
Gruß Jens
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jens!
Du mußt für Deine Integranden-Funktion zunächst eine  Polynomdivision durchführen, da der Grad des Zählers noch nicht (echt) kleiner ist als der Nennergrad.
Dem Rest-Bruch kannst Du dann mit Partialbruchzerlegung auf den Leib rücken.
Gruß
Loddar
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Danke Loddar für die Antwort, habe aber jetzt wieder ein Problem.
Eigentlich kann ich eine Polynomdivision durchführen, habe ich bereits heute schon einige Male gemacht, aber ich bin aufgeschmissen wie das hier bei meiner Funktion laufen soll.
Ich weiß nicht wie ich damit umgehen soll, dass ich quasi einen dreiteiligen Teiler habe.
Mein Ergebnis:
- [mm] \bruch{1}{3}+ \bruch{ \bruch{8}{6}*x- \bruch{1}{3}}{3*x^{2}+2*x-1}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jens!
Das sieht doch schon ganz gut aus ...
Ich habe lediglich im Zähler eine andere Zahl heraus (bitte nachrechnen):
[mm]- \bruch{1}{3} + \bruch{ \bruch{8}{\red{3}}*x- \bruch{1}{3}}{3x^{2}+2x-1}[/mm]
Nun einfach noch den Faktor [mm] $\bruch{1}{3}$ [/mm] bzw. sogar [mm] $\bruch{1}{9}$ [/mm] vor den Bruch ziehen und los geht Deine Partialbruchzerlegung!
Gruß
Loddar
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Wunderbar, ich sehe sogar auf meinem Block das ich es richtig gerechnet hatte. Das war also nur ein doofer Tippfehler. Gut gut,
einmal müsste ich noch nerven...
Wenn ich nun mit dem Bruch eine Partialbruchzerlegung mache, wann beziehe ich die -1/3 wieder mit in meine Integralrechnung ein.
Ich denke jetzt das ich erst den übrigen Bruch per Partialbruchzerlegung berechnen muss, und dann -1/3 + das Ergebnis der Partialbruchzerlegung aufleite.
Wäre das dann korrekt?
Gruß Jens
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jens!
> Ich denke jetzt das ich erst den übrigen Bruch per
> Partialbruchzerlegung berechnen muss, und dann -1/3 + das
> Ergebnis der Partialbruchzerlegung aufleite.
>
> Wäre das dann korrekt?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ganz genau, schließlich ist der Term [mm] $\bruch{1}{3}$ [/mm] Bestandteil unserer Funktion. Du mußt also beides für sich integrieren.
Aus [mm] $\bruch{1}{3}$ [/mm] wird dann logischerweise [mm] $\bruch{1}{3}x$ [/mm] ...
Wie lautet dann Dein Gesamtergebnis für die Stammfunktion?
Gruß
Loddar
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- [mm] \bruch{1}{3}*x [/mm] + [mm] \bruch{5}{36}*ln|x- \bruch{1}{3}| [/mm] + [mm] \bruch{3}{4}* [/mm] ln|x+1|
Was sagt der Meister dazu?
Muss jetzt nur noch die Grenzen einsetzen.
gruß Jens
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jens!
> [mm]- \bruch{1}{3}*x + \bruch{5}{36}*\ln\left|x- \bruch{1}{3}\right| + \bruch{3}{4}*\ln\left|x+1\right|[/mm]
>
> Was sagt der Meister dazu?
Also ich sage dazu: ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Scheint zu stimmen!
Zumindest erhalte ich die richtige Ableitung, nämlich unsere Ausgangsfunktion!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Mo 09.05.2005 | | Autor: | cagivamito |
Schön schön,
danke für die Hilfe!
Jens
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