Partialbruchzerlegung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Fr 03.09.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | | [mm] \integral{\bruch{1}{x^2(x^2+1)} dx} [/mm] |
[mm] \integral{\bruch{1}{x^2(x^2+1)} dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{A}{x^2}} [/mm] + [mm] \integral{\bruch{Bx+C}{x^2 +1}}
[/mm]
Ich denke der Ansatz sollte stimmen.
Nun komme ich aber nicht auf die Koeffizienten. Ich habe gelernt es gibt 2 Methoden:
1. Die Zuhaltemethode: Mit dieser bin ich auch auf A=1 gekommen aber weiß nicht wie das nun bei B und C schaffe..
2. durchmultiplizieren:
1 = [mm] Ax^2 [/mm] + A + [mm] Bx^3 [/mm] + [mm] Cx^2 [/mm] wobei ich auch wieder auf A=1 kommen würde..aber mit dem Rest kann ich nicht viel anfangen.
Wie gehe ich hier vor um meine Koeffizienten zu berechnen?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Fr 03.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo zocca!
Bedenke, dass Du bei [mm]x_0 \ = \ 0[/mm] eine doppelte Nullstelle des Nenners vorliegen hast, so dass der korrekte Ansatz der  Partialbruchzerlegung lautet:
[mm]\bruch{1}{x^2*\left(x^2+1\right)} \ = \ \bruch{A}{x}+\bruch{B}{x^2}+\bruch{C*x+D}{x^2+1}[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Fr 03.09.2010 | | Autor: | zocca21 |
Stimmt, dann komme ich zwar auf B=1 aber die Anderen bekomm ich nicht raus. Wieder das oben geschilderte Problem für mich.
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Hallo zocca21,
> Stimmt, dann komme ich zwar auf B=1 aber die Anderen bekomm
> ich nicht raus. Wieder das oben geschilderte Problem für
> mich.
Gemäß Loddar' Ansatz
[mm] \bruch{1}{x^2\cdot{}\left(x^2+1\right)} \ = \ \bruch{A}{x}+\bruch{B}{x^2}+\bruch{C\cdot{}x+D}{x^2+1}[/mm]
ist , um die Koeffizienten A,B,C,D herauszubekommen,
ein ![[]](/images/popup.gif) Koeffizientenvergleich durchzuführen.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:57 Fr 03.09.2010 | | Autor: | zocca21 |
Habs...Danke ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Fr 03.09.2010 | | Autor: | abakus |
Hallo,
relativ weithin bekannt ist die Tatsache, dass die Differenz zweier benachbarter Stammbrüche [mm] \bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1} [/mm] gerade [mm] \bruch{1}{n(n+1)} [/mm] ergibt.
Auf dieser Grundlage lässt sich [mm] \bruch{1}{x^2(x^2+1)} [/mm] sehr leicht als Differenz zweier einfacherer Brüche ausdrücken.
Gruß Abakus
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